一元二次方程的解题技巧与运用

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1、一元二次方程的解题技巧与运用题型1：巧用一元二次方程根的定义1.若方程x2-4x-3k=0与x2-x-6=0有一根相同，则k=()A.0和1B.4C.4和-1D.02.m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2015的值为（）3.若a2+3a+1=0,b2+3b+1=0,a≠b,则x2+3x+2=_____4.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b)均为常数，a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是_______________.5.已知实数a是一元二次方程x2-2015x+1=0的解求代数式的值

2、。6.已知m,n是方程x2-2x-1=0的两个根，是否存在实数a使（7m2-14m+a)(3n2-6n-7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。题型2:一元二次方程的解法7.（2014.台湾）若方程式（3x-C)2-60=0的两个根均为正数，其中C为整数，则C的最小值为（）A.1B.8C.16D.618.若x2+xy+y=14,y2+xy+x=28,则x+y=（）A.-6，7B.-7，6C.-6D.79.已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是x1=2,x2=-3，则二次三项式x2+bx+c可分解为______________

3、________.9.若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-(m+1)x+m=0有相同的实根，则m的值为__________.10.用适当的方法解下列方程：（1）（x-3)(x+7)=-9;(2)(2y+1)2-8(2y+1)+15=0;（3）12.阅读材料：为解方程((x2-1=5,)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，则((x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0.解得y1=1,y2=4.当y=1时，x2-1=1,∴x2=2,∴x=当y=4，x2-1=4,∴x2=5∴x=;∴原方程的解是x1

4、=,x2=-,x3=,x4=-.解答问题：（1）在由原方程得到方程的过程中利用了换元法达到了___________的目的；（2）利用材料中的方法解方程：（x2+x)(x2+x-14)+24=0.题型3:根的判别式和根与系数的关系的应用13.如果一元二次方程x2-mx+6=0的两个根分别比一元二次方程y2+my+6=0的两个根大5，则m的值是（）A.5B.-5C.1D.14.(2015.阜阳十五中一模）关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实数的根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是（）A.1B.-1C

5、.1或-1D.215.已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0,试问：是否存在实数m,使得方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值，若不存在，试说明理由。16.（2014.江西南昌模拟）关于x的一元二次方程（a-6)x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根；求的值.17.(2014.四川模拟）已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(1)若ΔABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当ΔABC是等腰三角形时

6、，求k的值。题型4：一元二次方程的综合运用18.（2014.安徽阜阳模拟）请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.把x=代入已知方程，得（）2+-1=0.化简，得y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所方程为______

7、_________________.（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于0的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.