chapter5矩阵

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1、第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵（一般是Hermite矩阵）特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理5.1设A=(ars)ÎRn×n,令M=表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式

2、Im(l)

3、£

4、

5、A-A

6、T

7、

8、2/2

9、Im(l)

10、£

11、

12、A-AT

13、

14、1×/2.证明：设x+i×y为对应于的A的特征向量，则A(x+i×y)=(a+b×i)(x+i×y)其中=a+b×i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B=。从而(x,y)TA(x,y)=(x,y)T(x,y)B展开有=a×+b×(求等式两边矩阵的对角元之和，可得a(xTx+yTy)=xTAx+yTAy(1)等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元可得：b(xTx+yTy)=xT(A-AT)y1).记B=A-AT,则

15、xTBy

16、£

17、

18、

19、x

20、

21、2×

22、

23、B

24、

25、2×

26、

27、y

28、

29、2从而

30、b

31、£

32、

33、x

34、

35、2×

36、

37、B

38、

39、2×

40、

41、y

42、

43、2/((

44、

45、x

46、

47、2)2+(

48、

49、y

50、

51、2)2)利用ab/(a2+b2)£1/2可得

52、b

53、£

54、

55、B

56、

57、2/2.2).由于

58、xTBy

59、£

60、

61、Bx

62、

63、1×

64、

65、y

66、

67、¥£

68、

69、B

70、

71、1×

72、

73、x

74、

75、1×

76、

77、y

78、

79、¥从而

80、b

81、£

82、

83、B

84、

85、1×

86、

87、x

88、

89、1×

90、

91、y

92、

93、¥/((

94、

95、x

96、

97、2)2+(

98、

99、y

100、

101、2)2)易证明

102、

103、x

104、

105、1×

106、

107、y

108、

109、¥/((

110、

111、x

112、

113、2)2+(

114、

115、y

116、

117、2)2)£/2.(显然，不妨假设(

118、

119、x

120、

121、2)2+(

122、

123、y

124、

125、2)2

126、=1,设

127、

128、y

129、

130、¥=t=cos(a),则y必为t×ej的形式（为什么？），从而极值转化为求解如下最大值问题：max

131、

132、x

133、

134、1,满足约束(

135、

136、x

137、

138、2)2=1-t2这样有均值不等式

139、

140、x

141、

142、1£

143、

144、x

145、

146、2=(1-t2)1/2,从而我们需要求解t(1-t2)1/2的最大值，设t=cos(a)可得t(1-t2)1/2的最大值为1/2.从而得证。)因此

147、b

148、£

149、

150、B

151、

152、1×/2.3).由于bii=0,i=1,2,…,n,bij=-bji,因此

153、xTBy

154、2=

155、

156、2£(2M)2(利用(a1+a2+…+an)2£n((a1)2

157、+(a2)2+…+(an)2)£(2M)2(n(n-1)/2)£(2M)2(n(n-1)/2)×=M2(n(n-1))×2×[(xTx)×(yTy)-(xTy)2]利用[(xTx)×(yTy)-(xTy)2]£(xTx)×(yTy)可得

158、b

159、£M(2n(n-1))1/2(xTx)1/2×(yTy)1/2/(xTx+yTy)£M(2n(n-1))1/2/2=M(n(n-1)/2)1/24).

160、xTBy

161、=

162、

163、£而£(xTx)1/2×(yTy)1/2由此可以有

164、b

165、£(1/2)思考题：对于(1)式，利用定理推导的类似技术，求

166、出关于

167、a

168、的界。推论实对称矩阵的特征值都是实数。事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.由定理5.1可得Im()=0,即为实数。引理1设BÎCn×n,列向量yÎCn满足

169、

170、y

171、

172、2=1,则

173、yHBy

174、.定理5.2设AÎCn×n，则A的任一特征值满足

175、

176、

177、

178、A

179、

180、(5.1.3)(5.1.4)推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）知Im()=0,即为实数；当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知Re()=0,即为为零或

181、纯虚数。定义.5.1设,则称矩阵A按行(弱)对角占优。定义5.2设AÎCn×n。如果AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；如果AT按行（弱）对角占优，则称A按列（弱）对角占优。对直接估计矩阵特征之乘积的模的界，再给出以下两个方法。定理5.3设A=(ars)ÎCn×n,令Mr=

182、arr

183、+如果A按行严格对角占优，则(5.1.5)且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。证明：由于A按对角占优，所以det(A)¹0.考虑方程组因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。从而A1可逆。上述线性方程组有唯一

184、解x(1)=(x2,…,xn)T.可以证明

185、xk

186、=max{

187、x2

188、,…,

189、xn

190、}<1,事实上，若

191、xk

192、=0则显然成立。若

193、xk

194、¹0，我们有ak1+=0(2£k£n)则有(2£k£n)如果

195、xk

196、³1,则可得(2£k£n)这和A对角占优矛盾。因此

197、xk

198、=max{

199、x2

200、,…,

201、xn

202、}<1成立。利用分块矩阵的