微积分学PPt标准课件13-第13讲闭区间上连续函数的性质

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十三讲闭区间上连续函数的性质脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民第三章函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理

2、解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章函数的极限与连续性第九节闭区间上连续函数的性质一.最大值和最小值定理二.介值定理三.函数的一致连续性最大值和最小值定理设f(x)C([a,b]),则(i)f(x)在[a,b]上为以下四种单调函数时aObxyaObxyOabxy

3、Oabxyy=f(x)[a,b],y=f(x)[a,b],此时,函数f(x)恰好在[a,b]的端点a和b处取到最大值和最小值.则则(ii)y=f(x)为一般的连续函数时xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O(最大值和最小值定理)若f(x)C([a,b]),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.定理若f(x)C([a,b]),则f(x)在[a,b]上有界.xyaa

4、1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O看图就知道如何证明了.推论f(x)在[a,b]上可取到它的最大值M和f(x)C([a,b])故mf(x)M,x[a,b],

5、f(x)

6、M*,x[a,b],令M*=max{

7、m

8、,

9、M

10、},则即f(x)在[a,b]上有界.最小值m,证二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)C([a,b]),f(a)f(b)<0,f()＝0.先看一个图描述一下这个现象(根存在定理或零点定理)则至少存在一点(a,b),使得f()＝

11、0.设f(x)C([a,b]),且f(a)f(b)<0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O如何证明？定理1证明的思想方法—区间套法将区间[a,b]等分为[a,a1]和[a1,b],在这两个区间中,选择与[a,b]性质相同的一个,例如,若f(a1)f(b)<0,则选取区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且[a1,b],然后,对[a1,b]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的(a,

12、b).f(a)=Af(b)=Byy=f(x)f()=C下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxOabx如何描述这个现象?(介值定理)设f(x)C([a,b]),f(a)＝A,f(b)＝B,且AB,则对于A,B之间的任意一个数C,至少存在一点(a,b),使得f()=C.定理2令(x)=f(x)C故由根存在定理,至少存在一点(a,b)使则(x)C([a,b])C在A,B之间(a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(AC)(BC)<0yBCAOab

13、bx证()=0,即f()=C.最大、最小值定理介质定理？引入设f(x)C([a,b]),则f(x)取得值m之间的任何一个值.推论介于其在[a,b]上的最大值M和最小设f(x)C([a,b]),证明:至少存在一点[x1,xn],使得例1a

14、,即方程在x=1与x=2之间至少有一根.故至少存在一个(1,2),使得f()=0,至少有一根.例2证至少有一个不超过a+b的正根.证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)设f(x)=xasinxb,x[0,a+b],则f(x)C([0,a+b]),而f(0)=0–asin0–b=–b<0,f(a+b)=(a+b)–asin(a+b)–b,=a(1sin(a+b))0,例3证1)如果f(a+b)＝0,则=a+b就是方程的根.即方程至少有一个不超过a+b的正根.定理,至少存在