离散数学 邱晓红 partt2

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1、第二部分集合论集合论简介集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论在开关理论、形式语言、有限状态机、编译原理、数据库原理等领域中有着广泛的应用。本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合的基本运算、序偶、关系、函数、基数等。2主要知识点关联图有序化集合性质互异性无序性确定性集合关系集合闭包关系等价关系范式元素计数表示方法哈斯图集合运算笛卡尔积二元关系关系图序偶相容关系范式偏序关系合取范式集合分划商集关系性质等价式函数等价类集合基数等势优势函数性质不可数集合一满射可数集双射单射关系矩阵闭包运算复合函数函数运算

2、逆函数运算规律容斥原理特殊二元关系覆盖幂集3第二篇集合论目录第4章集合及其运算4.1集合的概念及其表示4.2集合的基本运算4.3集合中元素的计数4.4集合的应用习题四实验四集合的基本运算第5章二元关系5.1集合的笛卡尔积5.2二元关系5.3等价关系与集合的划分5.4相容关系与集合的覆盖*5.5偏序关系5.6关系的应用习题五实验五求关系的闭包第6章函数6.1函数的概念6.2逆函数与复合函数习题六实验六函数的图形可视化第7章集合的基数**7.1集合的等势与优势7.2基数、可数集与不可数集习题七实验七：自然数性质的可视化表示4第4章集合及其运算主要内容：集合的基本概

3、念（属于、包含、幂集、空集、文氏图等）；集合的基本运算（并、交、补、差等）；集合恒等式（集合运算的算律、恒等式的证明方法）。教学要求：理解集合的概念，掌握集合的各种运算，掌握集合的恒等式证明方法。重点：集合恒等式难点：集合恒等式的证明实践活动：集合运算的实现54.1集合的概念及其表示4.1.1集合的概念集合的定义集合(Set)是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体。组成集合的对象称为集合的成员（member）或元素（elements）。6常见的数的集合N—自然数集合Z—整数集合Q—有理数集合R—实数集合C—复数集合7集合的表示法枚举法----通过列出全体

4、元素来表示集合谓词法----通过谓词概括集合元素的性质图示法----用一个圆来表示集合,圆中的点表示集合中的元素.实例：枚举法自然数集合N={0,1,2,3,…}谓词法S={x

5、x是实数，x21=0}8集合的元素三个重要的性质：互异性-集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}无序性-集合的元素是无序的。例如：{1，2，3}＝{3，1，2}确定性-集合的元素是确定的9例4.1.1（1）一个班级里的全体学生构成一个集合；（2）平面上的所有点构成一个集合；（3）方程x2-1=0的实数解构

6、成一个集合；（4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示；（5）整数的全体构成一个集合，用Z表示；（6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示；（7）实数的全体构成一个集合，用R表示；（8）复数的全体构成一个集合，用C表示；（9）还有正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+；（10）还有非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。（11）所有n阶实矩阵构成一个集合，用表示，即而所有n阶可逆实矩阵也构成一个集合，用表示。10元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。例如：A＝{a，{b，c

7、}，d，{{d}}}a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，bA，{d}A。b和{d}是A的元素的元素。可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。规定：对任何集合A都有AA。Aa{b,c}d{{d}}bc{d}d说明11集合与集合之间的关系定义4.1.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集(subset)。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。包含的符号化表示:BAx(x∈B→x∈A)如果B不被A包含，则记作BA。例如：NZQRC，但

8、ZN。显然对任何集合A都有AA。12隶属和包含的说明隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如A＝{a，{a}}和{a}既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。13集合相等(equal)定义4.1.2设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A＝B。相等的符号化表示为：A＝BAB∧BA如果A与B不相等，则记作A≠B。14真子集定义4.1.3设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集，记作BA。真子集的符号化表示为B

9、ABA∧B≠A如果B不是A的真子集