2005数值分析试题及答案

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1、数值分析试题2005.12一、填空题:(每空2分,共20分,答案写在答题纸上)1.设A=,则=(),Cond(A)1=()。2.设A=,数m取值为(  )时,可分解为A=GGT,当m=2时G=(  ).3.求方程x=cosx解的Newton迭代格式为(   ),其收敛阶为(   )。4.设是区间[0,1]上权函数为的正交多项式,=(    ),=(    ).5.计算定积分的Simpson求积公式为(   ),其截断误差为(   ).二、判断题(12分,正确划”√”,不正确划”´”,答案写在答题纸上)1.在根a处,若j¢(a)¹0,则简单迭代法是线

2、性收敛的;()2.设A是非奇异矩阵,则有唯一三角分解A=LU;()3.求解线性方程组的SOR迭代法收敛.()4.满足条件的3次插值多项式是()5.用3.141近似p具有4位有效数字;()6.用Euler法解初值问题是收敛的.()三、(10分)证明方程有唯一正根.构造一个收敛的简单迭代格式使对任何初值都收敛,并说明收敛理由和收敛阶.四、(12分)已知线性方程组:1.写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);2.讨论Jacobi迭代法和SOR迭代法(w=1)的收敛性,若收敛时,哪种迭代法收敛的快,为什么?五、(12分)已知且已求出三次样条插值

3、函数在[0,1]上的表达式为,试求在[1,2]上的表达式.六、(8分)给出数据表x-10123y22.5344.5利用最小二乘法求其拟合函数.七、(8分)试确定参数A,B,C和a使求积公式:具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是不是Gauss公式?八、(10分)设求常微分方程初值问题的差分公式1.证明:此差分公式是二阶方法;2.用此差分公式求初值问题时,取步长,所得数值解是否稳定,为什么?九、(8分)对初值问题在上对两边积分后,试用中点矩形求积公式导出差分公式,并给出此差分公式局部截断误差主项.数值分析试题(参考答案)一、1.,10;2.

4、m>1,3.,24.,0.5.,,二、1.´,2.´,3.´,4.√5.´,6.√三.由于[0,1]上¦(x)<0,[2,¥]上¦(x)>0,故¦(x)=0仅在(1,2)内有正根,又¦¢(x)=2x-sinx>0,所以¦(x)单调递增,故方程¦(x)=0有唯一正根,且在(1,2)内。构造迭代格式,k=0,1,2,…,由于满足:所以此迭代法对任意初值x0Î[1,2]都收敛。故1阶收敛.四、1.Jacobi法,和SOR法的迭代格式分别为2.由于矩阵A是严格对角占优矩阵,故Jacobi法和SOR法(w=1)都收敛.又由于r(B)=>r(G)=2/5,所以

5、SOR法(w=1)收敛的快.五.令得,由得,m=-32,所以六、由数据可见,构造线性拟合函数,,得正则方程组:解得:a=2.55,b=0.65,故拟合函数为:七.令公式对都精确成立,则得A+B+C=2,解之得:A=C=5/9,B=8/9,a=0,即公式代数精度最高。当¦(x)=x5时,左=右=0。所以积分公式的代数精度为5。它是Gauss公式。八、1.由于而所以,有:故此差分公式是2阶的。2.由于,h=0.25时,所以数值解不稳定.九、积分得:,由中矩形公式得差分方程:,而当时有,所以故误差主项为

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