一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法

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1、华中科技大学文华学院一元函数微积分2015年9月22日～12月22日基础学部梁幼鸣wululym@163.com18171201733（Mobil）德国数学家Leibniz在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。─F.恩格斯英国数学家Newton微积分学创始人Theonerealobjectofeducationistohaveamanintheconditionofcontinuallyaskingquestions.（教育的真正目的是使人处于不断发问的状态）-----

2、-MandellCreighton（克莱顿）Brevityisthesoulofwit.（简洁是智慧的灵魂）------WilliamShakespeare（莎士比亚）Wisdomdenotesthepursuingofthebestendsbythebestmeans.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）------FrancisHutcheson（哈奇森）一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。”------D.Hilbert（希尔伯特）Brevityisthesoulofwit.（简洁是智慧的灵魂）-

3、-----WilliamShakespeare（莎士比亚）Wisdomdenotesthepursuingofthebestendsbythebestmeans.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）------FrancisHutcheson（哈奇森）AdvancedMathematics退出一元函数微积分第七章常微分方程及其解法四五二一退出Chpt.7常微方程基本概念与几种一阶和二阶线性方程的主要解法解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的拆中降阶法专题常微方程基本概念与简单分类方法解一阶常微方程的凑微分法三解二阶常系数线性齐次和非齐次方程的特征多项式法一阶常微方程的分离变量解法与套公式解

4、法退出返回本章只讨论常微方程。简例如下：2.常微方程分类命名法含一元未知函数的导函数或因变量一、常微方程基本概念与简单分类法1.何谓常微分方程经验指出，常微方程中未知函数及其非线性方程，剩下的都是线性方程。显然，简例中阶数最高的方程是(5)，它们统称为高阶方程）。剩下的方程全为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（是一阶方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自变量的微分的等式称为数或因变量的微分及其多个自变量的常微分方程；含多元未知函数的偏导常微方程按其内所含未知函数的最高阶数来分类并命名。最高阶数是几，方程就被称为几阶方程。导数的幂次是否全为一次，决定了未知函数的具体结构能否被解出来的

5、难度。全为一次的方程称为线性方程，否则称为非线性方程。易见，简例唯有(2)是的微分的等式称为偏微分方程。退出返回3.常微方程的特解与通解常微方程的通解多数都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例1-1验证方程的通解任何含自变量与因变量的表达式，若能由之恒等地推出给定的常微方程时，都称为该常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有常数、且不能合并的任意常数的个数恰任意常数取特定值后所得出的对应解称证是好等于方程的阶数时称为方程的通解。为方程的特解。由于表达式中仅含一个任意常数，个数可见，给定的表达式是给定方程的解；明显与方程的阶数（一阶）相等，故此解是方程的通

6、解。证毕。一、常微方程基本概念与简单分类法退出返回的通解。解故原方程的通解为*例2-1求一阶非线性微分方程即非线性方程的通解（包括特解）往往用隐函数的形式书写比较简洁。有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快。二、解一阶常微方程的凑微分法可见，退出返回的通解。解故原方程的通解为*例2-2求一阶非线性微分方程即用凑微分法解常微方程，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则；其掌控的要点在于认准何为分母，何为分子。（本例即教材P236之例4）可见，二、解一阶常微方程的凑微分法

7、退出返回解的通解。例2-3求一阶线性微分方程故凑微分法解一阶微分方程时，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。解微分方程的过程，本质上是求出的特解和通解又常常被分别称做历经曲折求原函数的过程。因此，被微分方程的积分曲线和积分曲线族（我们知道，同时含有因变量和自变量的等式在解析几何中表示平面曲线）在极理想的情况下，原方程有可能被重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，人们常称其为已分离变量的形式。这种方程的解几