林吉艳 2015 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法

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1、利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法余庆中学林吉艳摘要：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．求解直线与曲线的位置关系时，注意利用直线参数方程的参数的几何意义解题，使运算简单化。关键词：参数方程；几何意义；坐标。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一

2、种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝；(2)

3、PM

4、＝

5、t0

6、＝；(3)

7、AB

8、＝

9、t2－t1

10、；(4)

11、PA

12、·

13、PB

14、＝

15、t1·t2

16、.例1．已知P1，P2是直线(t为参

17、数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，求线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离．解：由t的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t＝0，∴线段P1P2的中点到点P的距离为.例2．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B，C两点，求

18、BC

19、的值．解：∵代入x2＋y2＝4，得2＋2＝4，t′2－3t′＋1＝0，∴

20、BC

21、＝

22、t′1－t′2

23、＝＝＝，即

24、BC

25、＝.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题；对于形如(t为参数)当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题。例3．

26、在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.若直线l与曲线C交于A，B两点，求

27、AB

28、的值．解：首先消去参数t，可得直线方程为x－y＋＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为2＋2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得

29、AB

30、＝2＝.例4．在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求

31、

32、AB

33、的值．解：(1)将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入ρ2sin2θ＝ρcosθ中，得y2＝x，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝x.(2)把代入y2＝x整理得，t2＋t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－，t1t2＝－4，∴

34、AB

35、＝

36、t1－t2

37、＝＝3.本题P到A，B两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义．例5．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立例5．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标

38、系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcosθ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.直线l的参数方程为(t为参数)．将(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8tcosα＋12＝0.∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，∴cosα≥或cosα≤－.∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是∪.(2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为

39、(x－3)2＋y2＝4，其参数方程为(θ为参数)．∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝3＋2cosθ＋2sinθ＝3＋2sin(θ＋)，∴x＋y的取值范围是[3－2，3＋2]．利用直线的参数方程(α为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．在坐标系与参数方程的试题中，常涉及参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，要注意等价变形；求