【素材】《二次根式的乘除》学习要点-1

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1、二次根式的乘除法学习要点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义由于×＝＝＝3，×＝＝＝4，所以，一般地，×＝(a≥0，b≥0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号

2、左边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式×＝(a≥0，b≥0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例1　计算：（1）－×；（2）×；（3）×；（4）×.分析　利用二次根式的乘法法则，对于第（3）小题，应视x+2y为一个整体.解　（1）－×＝－＝＝6；（2）×＝＝＝3；（3）×＝＝

3、(x+2y)；（4）×＝＝＝6x2y2.说明　在进行二次根式乘法的过程中，应注意不能随便丢掉负号，其结果一定要化简.例2　计算：（1）×；（2）5×.分析　第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.解　（1）×＝＝＝0.4×3＝1.2.（2）5×＝5××＝×＝.说明　对于二次根式的被开方数或式中，若满足两个相同因数或因式即移到根号外面来，从而达到化简的目的.二、掌握公式×＝(a≥0，b≥0)的反向运用对于公式×＝(a≥0，b≥0)，我们可

4、以反过来，即得到＝×(a≥0，b≥0).利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的.例3　化简：（1）；（2）；（3）；（4）.分析　利用公式＝×，我们可以直接化简，对于2000可以通过分解因数，对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.解（1）＝×＝35；（2）＝×＝4×9＝36；（3）＝＝××＝20；（4）＝＝＝×＝9×5＝45.说明　通过求解可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以逆向运用二次根式乘法的法则，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次

5、根式化简.三、熟练掌握二次根式除法的意义因为÷＝＝4÷2＝2，而＝＝2，所以÷＝＝.一般地，÷＝(a≥0，b＞0).观察这一式子的左边和右边，从运算顺序看，等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中a≥0，b＞0，这是因为当b＝0时，分母为0，没有意义.和二次根式乘法的法则一样，二次根式除法的法则也可以反过来运用，即＝(a≥0，b＞

6、0)，同样可以利用这一公式化简二次根式.例4　计算：（1）÷；（2）÷.分析　直接运用公式÷＝化简.解　（1）÷＝＝＝＝2；（2）÷＝＝＝3.说明　注意本例中第（2）小题的书写格式，以便降低求解的难度.例5 化简：（1）；（2）；（3）.分析　利用公式＝直接化简.解　（1）＝＝＝；（2）＝＝；（3）＝＝＝.说明　如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数.，在进行第（3）小题的运算时，也可以先对被开方数的分子与分母同时扩大100倍，从而化小数为整数.通过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有

7、两种基本方法：①把除法先写成分式的形式；②直接套用公式＝(a≥0，b＞0).四、正确理解最简二次根式的意义有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.最简二次根式必须满足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.例6　计算：（1）÷（×）；（2）×÷.分析　第（1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法.解　（1）÷（×）＝÷＝＝＝＝；（2）×÷＝÷＝＝＝＝＝.说明　通过本题的运算，我们能从中体会到如何化去分母中含有根号的因数或因

8、式.