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时间:2019-07-15
《《3.1.2空间向量的数乘运算》课件5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.2空间向量的数乘运算问题引航1.空间向量的数乘运算是如何定义的?它满足哪些运算律?2.共线向量与共面向量的充要条件分别是什么?3.实数与向量的乘积是向量吗?1.向量的数乘运算(1)数乘运算:结果实数λ与空间向量a的乘积是一个_____λ的范围方向关系模的关系λ>0方向_____λa的模是a的模的_______λ=0λa=0,其方向是任意的λ<0方向_____相同相反
2、λ
3、倍向量(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________;②结合律:λ(μa)=________.λa+λb(λμ)a2.平行(共线)向量:平行(共线)向量共面
4、向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系:_______________平行于同一个_____的向量特征方向___________充要条件对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使______向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y)使________互相平行或重合相同或相反平面a=λb惟一p=xa+yb平行(共线)向量共面向量推论对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式____________,向量a为直线l的_________或在直线l取
5、向量=a,则=_________点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=__________或对空间任意一点O,有=_____________方向向量1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算.()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是共面向量.()(3)如果 则P,A,B共线.()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.()【解析】(1)错误,实数与向量相加没有意义,如3+a不能确定该式子是实数还是向量.(2)错误,由共面向量的定义知空间
6、中任意两个向量都是共面向量,故此种说法错误.(3)正确,能判定P,A,B共线.因为原式可化为:由共线向量的充要条件可知,P,A,B共线.(4)错误,空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如,对于空间四边形ABCD,这三个向量就不是共面向量.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若
7、a
8、=5,b与a的方向相反,且
9、b
10、=7,则a=b.(2)已知b=-5a(
11、a
12、=2),向量b的长度为,向量b的方向与向量a的方向.(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,,若则x=,y=.【解析】(1)b与a的
13、方向相反,所以a=λb且实数λ<0,由
14、a
15、=
16、λ
17、
18、b
19、,所以故λ=答案:(2)因为
20、a
21、=2,又b=-5a,所以向量b的长度为10,又因为-5<0,故向量b与a的方向相反.答案:10相反(3)所以x=1,y=答案:1【要点探究】知识点1空间向量的数乘运算1.数乘运算的三个关注点(1)与实数运算的区别:数乘向量与数与数的乘法是有区别的,前者结果是一个向量,后者结果是一个实数.(2)与加法、减法运算的关系:空间向量的数乘运算,实质是空间向量的加减运算.(3)特殊情况:当λ=0或a=0时,向量λa=0.2.对λa的三点说明(1)含义:λa是实
22、数λ与向量a间的运算.(2)λ的作用:λ的正负影响着向量λa的方向,λ的大小影响着向量λa的长度.(3)a的作用:向量λa与向量a一定是共线向量.【知识拓展】非零向量的单位化已知非零向量a和它的单位向量a°,显然向量
23、a
24、a°与向量a等长且同向,所以有a=
25、a
26、a°或a°=.由此可知,一个非零向量a除以它的模就可以得到它的单位向量.从向量a求向量a°的过程就称为向量a的单位化.【微思考】(1)向量λa的模与向量a的模比较何时扩大?何时缩小?提示:向量a的模可以扩大(当
27、λ
28、>1时),也可以缩小(当
29、λ
30、<1时).(2)向量λa的方向与向量a
31、的方向是否一致?提示:向量a的方向可以不改变(当λ>0时),也可以改变(当λ<0时).【即时练】化简(a+2b-3c)+-3(a-2b+c)=___________.【解析】原式=-3a+6b-3c答案:知识点2共线向量1.对空间共线向量的两点说明(1)类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.(2)共线的理解:“共线”这个概念具有自反性,也具有对称性,即若a∥b,则b∥a.2.共线向量充要条件的三个关注点(1)区别:共线向量与直线平行的区别,直线平行不包括两直线重合的情况,而我们说的两
32、个共线向量a∥b,表示向量a,b的有向线段所在直线既可以是同一直线,也可以是两条平行直线.(2)零向量:共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据,条件b≠0不可
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