路灯更换策略模型

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1、“大班上课、小班讨论”论文报告2014-2015第二学期数学建模2016年4月9日－4月12日题目路灯更换策略模型专业信算信算信算信算班级14信算114信算114信算114信算1姓名芦新宇岳昊垲常巨野王嘉琦学号1400801102140080110514008011171400801123成绩路灯更换策略一、问题的提出某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。更换路灯时，需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，还要向雇用的各类人员支付报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高，灯泡坏1个换1个的办法是不可取的。上级管理部门通过监察灯泡是否正常工

2、作对路政部门进行管理，一旦出现1个灯泡不亮，管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。根据多年的经验，他们采取整批更换的策略，即到一定的时间，所有灯泡无论好与坏全部更换。如何确定整批更换的时间周期，要考虑每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用，使得单位时间内的费用最少，此时所对应的周期即为整批更换的最佳周期。二、问题的分析其中总费用分为两部分:每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用。根据常识,灯泡的寿命是随机的,在平均值附近有较大的波动,需要通过分析确定灯泡

3、寿命的分布规律。针对问题一，将总的灯泡成本和更换安装所需要的费用作为总的安装费用，再根据灯泡寿命的分布规律，列出需要承担的惩罚费用与整批更换周期的关系，从而得出总费用与整批更换周期的关系式，解出更换周期的表达式。针对问题二，根据抽查的200个灯泡寿命，统计分析出灯泡寿命大概的分布规律，将题中所给数据：每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时，代入更换周期表达式，通过求导计算出日均总费用最小时，对应的整批更换周期。针对问题三，在未坏灯泡可以回收的条件下，总费用应为：总的安装费用（总的灯泡成本+更换安装所

4、需要的费用）+总的惩罚费用-未坏灯泡回收收益；再次列出总费用与整批更换周期的关系式，解出更换周期的表达式，通过求导计算出日均总费用最小时，对应的整批更换周期。三、模型的假设1、假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品；2、假设惩罚费用从灯泡坏的那一刻开始计算；3、假设该品牌灯泡的寿命满足随机正态分布；4、假设已坏的灯泡无任何回收价值；5、假设外界环境因素不会改变灯泡寿命；6、假设所给200组数据是有代表性的,可以体现一般的规律；四、符号说明整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用整体更换灯泡时所承受的罚款总费用整体更换灯泡时灯泡的总更换费用通过随机抽取的测试获得灯泡的期望寿命

5、通过随机抽取的测试获得灯泡寿命的标准差整批更换的周期一个周期内的总费用平均每天的总费用灯泡的寿命每个未坏灯泡的回收价格寿命t的概率密度函数即:灯泡的个数寿命为t的灯泡在一个周期内的总罚款函数灯泡在一个周期后的售出价格函数五、模型的建立问题一：查阅资料可知，灯泡寿命的分布为正态分布。由此，我们先对题目所给的200个数据利用SPSS进行正态性检验。先做出灯泡寿命的频率直方图与拟合的正态分布曲线：根据图像可以大致看出，灯泡的寿命是正态分布的，于是有寿命t的概率密度函数为…………………………（1）对于灯泡的惩罚费用有………………………（2）于是，得出在周期为T的情况下，所要承受的罚款为………………

6、……………（3）则需要的总费用为………………………（4）为寻求最佳的更换周期,我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,即:单位时间内的费用越小该整体更换周期越优，单位时间内支出的费用可表示为…………………………………（5）当最小时，有…………………………………（6）化简后可得…………………………………（7）其中模型分析：有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积,而且被积函数是大于零的,T为积分上限,所以T越大,积分值越高,即:T与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的。六、模型的求解问题二：根据问

7、题二所给的条件，每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时可知则有代入（7）式则有………………………………（8）编写MATLAB代码，并求解可得近似解为T=4314（h）结论：整体更换周期为4314小时，即每过4314小时进行一次灯泡的全部更换的条件下，路政部门平均每天所花的费用最少。问题三：根据题意可在问题二的模型基础上再考虑未坏灯