矩阵求逆和线性方程组

《矩阵求逆和线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性方程组有解的判定条件问题：有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４

2、解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例５设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：思考题矩阵求逆、线性方程组的解和矩阵的秩授课教师：张方国Email:isszhfg@mail.sysu.edu.cn矩阵的转置逆矩阵与伴随矩阵1.逆矩阵的定义对于n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E,则称矩阵A可逆。可以证明，此时的矩阵B是唯一的，我们记它为A-1,称之为A的逆矩阵。【注】定义中的AB=BA=E可以减为AB=E.【定理】矩阵A可逆的充分且必要条件是A的行

3、列式不等于零，并且2.逆矩阵的性质矩阵A可逆的其它充分且必要条件：⑴A是非奇异的；⑵A是满秩的；⑶A的n的行（列）向量线性无关；⑷A可以通过有限次行的初等变换化为单位矩阵E;⑸A等价于E,即A≌E;⑹A可以表为有限个初等矩阵之积，即A=P1P2---Pk;⑺A没有零特征值。逆矩阵的计算〔方法1〕定义法【例】已知矩阵A2-A-3E=O,求A+E的逆矩阵。〔方法2〕伴随矩阵法【例】已知ad-bc≠0,求二阶矩阵的逆矩阵。〔方法3〕初等变换法【例】求五阶矩阵的逆矩阵。〔方法4〕分块待定法求分块矩阵的逆矩阵，其中A,

4、B为不同阶的可逆矩阵。【例】第一种行初等变换第二种行初等变换第三种行初等变换2.主要结论⑴对矩阵施以行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。⑵初等变换不改变矩阵的秩。⑶矩阵可以通过有限次初等变换化为阶梯阵。⑷初等矩阵皆可逆，其逆仍为初等矩阵。⑸可逆矩阵的充要条件是它可表为有限个初等矩阵的乘积。3.用行变换求矩阵的逆4.用行变换求线性方程组以及矩阵方程的解其中A可逆。伴随矩阵⑴定义⑵讨论伴随矩阵的永恒出发点⑶性质【例】证明⑴⑵⑶本题考查的内容较多，至少包括伴随矩阵的定义、性质、运算等。这一结论要记

5、住，其证明最好也掌握。矩阵可逆的充要条件下面哪些条件是A可逆的充要条件?

6、A

7、>0;

8、A

9、不等于0A不等于0Rank(A)=n;A*可逆;A的行向量线性无关;A等价于单位矩阵;A可以表示成若干个初等矩阵的乘积A仅通过行初等变换就可以变成单位矩阵A可以写成两个可逆矩阵的乘积AX=0只有零解AX=b有唯一解A没有零特征值A的任何幂次都不等于零线性方程组能够熟练判定线性方程组解的情况；能够熟练求出线性方程组的解通式；能够利用解的判定定理解决一些证明；理解两个线性方程组同解的条件；掌握非齐次线性方程组的解与其相应的齐

10、次线性方程组(导出组)的解之间的关系线性方程组非齐次线性方程组AX=b;导出组AX=0齐次线性方程组线性方程组一.主要结论1.有解的充分且必要条件是①②③增广矩阵化为阶梯阵后的最后一个非零行的首元素不出现在最后一列。2.AX=O一定有解：①r(A)=n时，AX=O有唯一零解；②r(A)

11、AX=b,AX=O解的关系：①AX=b的一个解与AX=O的一个解之和，必为AX=b的一个解；②AX=b的两个解之差，必为AX=O的一个解.二.解法1.AX=O解法——A的行变换法（保留方程法）；2.AX=b解法——的行变换法（保留方程法）.矩阵的秩定义及求法〔定义〕矩阵A非零子式的最高阶数称为它的秩，并用r（A）表示。我们有⑴r（A）≤min（m,n）;⑵r（A）=0,当且仅当A=O;⑶求r（A）我们依据下面的定理：【定理】初等变换不改变矩阵的秩。（用行变换化矩阵为阶梯阵，即可由非零阶梯的个数求得）2.关于矩

12、阵秩的几个重要结论⑴r(AB)≤min｛r(A),r(B)｝;⑵若A可逆，则r(AB)=r(B)，若B可逆，则r(AB)=r(A);⑶max｛r(A),r(B)｝≤r(A,B)≤r(A)+r(B);⑷r(A)-r(B)≤r(A+B)≤r(A)+r(B);⑸A为s×n,B为n×t时，r(AB)≥r(A)+r(B)–n;⑹A为s×n,B为n×t时，且AB=O时，r(A)+r(B)≤n。（0）矩阵的秩=矩