机床误差综合数学模型

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1、第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念3.1齐次坐标变换的基本原理3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4建立机床误差综合数学模型实例3.0齐次坐标变换的基本概念矩阵矢量转换矩阵－二维变换xBXBYByBPyAxAXAYAOBOAaXay解析式如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐标值为(x1,y1,z1)，当O1:X1Y1Z1坐标系沿X1轴平移x至新坐标系O2:X2Y2Z2后，则P点在新坐标系O2:X2Y2Z2坐标系中的坐标值(x2,y2,z2)与(x1,y1,z1)的关系可表

2、示为：式中：Trans(x)—表征沿X1轴平移的平移矩阵。齐次坐标变换的基本概念=Trans(x)坐标系的坐标变换HomogeneouscoordinatetransformationofcoordinatesystemX1Y1Z1Y2Z2X2O1O2yzxxyzPTrans(x)－三维变换类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为若O1:X1Y1Z1坐标系绕X1轴旋转x后成为O2:X2Y2Z2坐标系，则式中：Rot(x)——绕X1轴的回转矩阵。Rot(x)类似地，绕Y1轴和Z1轴的回转矩阵可分别表示为Trans(y)；Trans(z)Rot(

3、x)Rot(y)；Rot(z)齐次坐标变换的基本概念－三维变换在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先分别沿X1、Y1和Z1轴平移x、y和z，再分别绕X1、Y1和Z1轴旋转x、y和z，则表征O1:X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系O2:X2Y2Z2之间关系的齐次坐标变换矩阵为T=Trans(x)Trans(y)Trans(z)Rot(x)Rot(y)Rot(z)当旋转角度x、y和z非常小时，有sinx≈x;siny≈y;sinz≈z;cosx≈1;cosy≈1;cosz≈1当平

4、移x、y和z分别有误差x、y和z时，如忽略二阶以上微量，可将上式齐次坐标变换矩阵简化为＝齐次坐标变换的基本概念－三维变换3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义设对已给有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’），满足（齐次）关系：x’=a11x+a12y+a13z,T：y’=a21x+a22y+a23z,（3-1）z’=a31x+a32y+a33z,称T是把有序数组（x，y，z）变到（x’，y’，z’）的一个齐次线性变换。有序数组（x’，y’，z’）称为在变换T下的（x，y，z）的像，而（x，y，z）则称（x’，y

5、’，z’）的原像。方阵（3-2）称为齐次线性变换T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’）分别为两个空间坐标系A和B中的两个位置坐标，则称T是把坐标系A中的位置坐标（x，y，z）变到坐标系B中的位置坐标（x’，y’，z’）的一个齐次坐标（线性）变换。3.1.2变换矩阵图3-1坐标之间的齐次变换3.1.2变换矩阵如图3-1所示，A、B为二个空间坐标系，设r为坐标矢量，则有rA=rB（3-3）其中是从坐标系B变换到A的一个4×4齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有（3-4）若角度、和变化很小，并忽略二阶量则

6、变换矩阵可为（3-5）TAB=1110001-+-+-+éëêêêêùûúúúúabagbgaabbccDDD3.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到x处，导轨无导向误差，与重合，O1在基准轴线i上，则与滑板相固连的一点P1（刀具或工件上任意点）处于理论位置，径矢1P1=r1，在和三轴上分量（投影）均为，亦即P1点在里的理论坐标为。如果此时刻，导轨存在导向误差，矢量随同沿j、k方向平移；绕转动角，则P1滑板在床身或立柱的导轨上作直线运动时，有五个自由度被导轨约束，即两个方向的平移和三个方向的转动，而滑板前进方向的自由度由进给系统控制。为了清楚的表达

7、导轨导向误差的变化和计量，可在床身（或立柱）导轨和滑板上各建立一个直角坐标系和，如图所示。原点O1和基准轴线i（与主轴轴线平行或垂直）的选择可根据导向误差的测量方法来确定。原点O通常随同加工误差的度量基准一起固定在导轨纵向相应的位置上。另外，在滑板上加一个参考坐标系，它的坐标系与的坐标轴相应平行，并随滑板平移而不旋转。r1点偏离理论位置，产生加工误差。由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的平行度（或垂直度）误差造成；由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成；和分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在x处仅有导向误差，并且矢量随分别绕旋转

8、，则转换到里成为矢量例如，记矢量绕轴旋转角而得到矢量的坐标变换为，由解析几何可知