等差数列与等比数列的基本问题

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1、等差数列与等比数列的基本问题等差数列和等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差数列和等比数列的定义、通项公式等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解题方法灵活多样，技巧性较强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。例1(2007年高考山东卷文科试题)小结由于数列是高考的必考知识点，所以在历年的高考试卷中，用有关概念、公式求解一些基本量（a1、n、d、q、an、sn）问题，判断或证明一个数列是等差数列或等比数列，并由此求其通项公式、前n项和Sn或确定an与Sn的关

2、系问题也是高考命题一直考查的热点。等差数列与等比数列的性质问题由于等差数列和等比数列运算的灵活性与技巧性较强，因此考生要学会借用等差数列和等比数列的性质来解题，以达到选择捷径、避繁就简、合理解题的目的。例2（2007年高考湖北卷理科试题）小结在等差数列｛an｝中，若m、n、p、q∈N*,且m＋n=p＋q，则有am+an=ap+aq.利用这一性质求解某些等差数列问题，可以将问题化难为易，化繁为简。久考不衰的递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化成等差数列或等比数列问题来解决，这类问题多年来

3、一直是高考久考不衰的热点题型，尤其以2007年全国各省市的高考试卷最为明显。例3（2007年高考全国卷二理科试题）例4（2007年高考北京卷文科试题）小结此种类型的试题是考生容易丢分的题型。求递推数列的通项公式的思维方向是转化与化归，这样处理问题的目的是化陌生为熟悉，当然首选方向是化成等差数列或等比数列，也可通过构造把问题转化，然后根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，从而达到转化的目的，特别需要说明的是，与的关系问题（考生易漏掉时的情况）历来是高考考查的热点问题。在历年的高考试卷中，最常见的求递推数列通项公式的类型有：⑴an+1=an+f

4、(n)型;⑵an+1=f(n)·an型;⑶an+1=pan+q型;⑷an+1=pan+f（n）型;⑸an+1=panqn型;⑹an+2=pan+1+qan型;⑺an=Sn-Sn-1（n≥2）型。数列与不等式的综合问题数列与不等式是高中数学的重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法是数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现，以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。例5（2007年高考重庆卷理科试题）小结有关数列与不等式的混合型考题，是多年来在高考试卷中出现频率最高的题型。此题从不

5、同的角度分别使用了证明不等式的常用证题方法——比较法、逐项放缩法和数学归纳法。2007年高考新颖靓题欣赏与品味高考命题为了有效检测考生的思维水平和学生潜能，提出了不拘泥于中学教学大纲的要求。据此，命题者所受束缚减少，自主发挥的空间增大，所命制的试题往往内涵丰富，立意新颖，表达脱俗，背景鲜活，设问独特，让人赏心悦目，回味无穷。考生中能者攻之，不能者避之或瞎碰，这在一定程度上体现出考生的综合实力及数学态度与情感。这些新颖的靓题或信息迁移或贴近生活或探究应用，不一而足。让我们共同欣赏、品味。一、新颖的背景中见创新题1（四川卷理科第11题）思路分析本

6、题粗略一看，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，给人一种无从下手的感觉。这就需要我们实际操作和巧妙设计，要求同学们要具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策。其实就是一个平面几何题或三角题，为此可考虑平面几何、解析几何、三角函数、向量等方法求解等多种思路。A、B分别作的垂线BD、AE与的交点为F，设正三角形边长为a，则由勾股定理得：所以有.故选D.欣赏与品味本题看似平淡无奇，但却有效考查了考生的数学素养与数学视野、开阔的思维、解题的智慧，在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力占全

7、了。是一道精彩的好题！所以我们平时就要扎扎实实以熟练主干知识为成头，注重对通性、通法的训练和数学思想方法的强化，进一步提高解决问题的能力。二、以数学文化为背景创新题2（北京卷理科第13题）思路分析通过阅读题干，了解数学文化；国际数学家大会召开的时间、地点、会标，数学家赵爽弦图等知识背景。图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，所以每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为，则所以两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cos2θ=2cos2－1=.欣赏与品味本题主要考查了勾股定理、解三角形，二倍角公式、读

8、图、识图、阅读理解能力和基本运算能力，其背景融合数学历史（文化），耐人寻味，易错点是不能正确理解题意。在解答信息型的新型题时，要透彻理解问题中的新信息。题目本身不难