平面问题有限元解法公式推导讲解

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1、平面问题的有限单元解法南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力8/15/2021南京农业大学工学院机械工程系基本变量uεσ（位

2、移）（应变）（应力）基本方程力的平衡方程几何方程物理方程求解方法经典解析半解析传统数值解法现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）物体变形及受力情况的描述三大方面三大方程即：σ=EεE弹性模量8/15/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约

3、束8/15/2021南京农业大学工学院机械工程系平面问题有限单元法基本概念有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。平面问题的有限单元法求解将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元，这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问题，常用的单元是三角形单元）用结构力学方法进行求解8/15/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法分析步骤（一）结构离散化将结构分成有限个小

4、的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。节点编码。注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。8

5、/15/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法分析步骤（二）单元特性分析选择未知量模式选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；选节点力作为基本未知量时，称为力法；取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。分析单元力学性质根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。计算等效节点力作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。8/15

6、/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法分析步骤（三）整体分析集成整体节点载荷矢量F。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷矢量。组成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程：引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。8/15/2021南京农业大学工学院机械工程

7、系弹性力学中的几个基本概念作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性力。为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F，则体力的平均集度为△F/△V。当△V不断减小，假定体力为连续分布，则△F/△V将趋于一定的极限f，即:这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。f的方向就是△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方

8、向为负。8/15/2021南京农业大学工学院机械工程系弹性力学中的几个基本概念面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力。为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为△F，则面力的平均集度为△F/△S。当△S不断减小，假定体力为连续分布，则△F/△S将趋于一定的极限，即:这个极限矢量就是该物体在P点所受面