《微积分06定积分》PPT课件

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1、第一节定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质引例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数f(x)在区间[a,b](a

2、[a,b]分成n个小区间我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题.以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.定义二、定积分的概念定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质

3、点所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即定积分的存在定理如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.关于定积分的概念，还应注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分的定义中，总假设，为了今后的使用方便，对于时作如下规定：如果在[a,b]上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.如果在[a,b]上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上

4、表示上述曲边梯形的面积A的相反数.三、定积分的几何意义如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.性质1设函数f(x)，g(x)在[a,b]上可积两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即四、定积分的性质如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则性质3性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5特别的,性

5、质6(定积分估值定理)证明例2解性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立证明因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有即数值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.性质7的几何意义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(

6、a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流在该截面处的平均水深为.第二节定积分基本公式一、变上限的定积分二、微积分学基本定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且对于给定的x()，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为一、变上限的定积分定理1证明由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).由上述结论可知：尽管不定积

7、分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.定理2(微积学基本定理)证明二、微积分基本定理上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题