平均利润最大

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1、题目：某商店要订购一批商品零售，设购进价，售出价，订购费（与数量无关），随机需求量的概率密度为，每件商品的储存费为（与时间无关），问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少.为使这个平均利润是正值，需要对订购费加什么限制？模型一每次订购的商品可以完全卖完基本假设：1每次商店商品卖完后，新订购的商品立刻到达2第一个周期卖出的新购进的商品不收储存费3商品没卖完之前不订购新的商品4不考虑过期情况，即所有购进的商品都可以全部卖出去符号说明商品购进价商品售出价订购费（与数量无关）需求量需求量的概率密度每件商品的储存费（与时间无

2、关）每次购进商品的件数一个常数C一个常数每次购进的商品卖完后获得的总利润平均每件商品获得的利润模型建立与求解每次购进的商品卖完后获得的总利润应为所有商品净赚的钱减去订购费和储存费.若购进新商品第一天的销售量小于,则需要储存费，反之，储存费为0.所以=(-)--(1)此时由于是一个未知量，如果由确定获利的最大值，由于未考虑时间，可能会导致靠多卖货物来获得最大利益，在需求量不变的情况下，销售的时间会延长，从而平均利润并不是最大的.考虑每件商品的平均利润：(2)求合适的，使得取得最大值，(3)令，则有(4)由(4)式可以确定是（3）式的极值

3、点.(5)(6)故是（3）式的极大值点,即要想使商店的平均利润最大，每次应购进件商品.把代入（1）式中，求得每次购进商品并销售完后获得的总利润是(7)要想这个利润为正值，需要满足：(8)即(9若,由(9)式解得,由于则(10)即要想使这个最大利润为正值，需要订购价满足，其中由（9）式解得.模型二在现实生活中,很多物品都是存在有效周期的，像牛奶，报纸等，为了与现实相符，在模型二中考虑有效周期的问题.基本假设：1每个周期商店商品卖完后，下个周期新订购的商品立刻到达2每个周期新购进的商品若在本周起内卖掉不收储存费4考虑过期情况，假设商品的有

4、效期即为题中随机需求量的测量周期，在一个周期内没卖完的商品不能再卖5不存在相应的退货机制，即在有效周期内未售出的商品不能再获得经济效益符号说明商品购进价商品售出价订购费（与数量无关）需求量需求量的概率密度每件商品的储存费（与时间无关）每个周期购进商品的件数一个常数一个周期获得的总利润模型建立与求解可以想到，要使一个周期的利润最大，每个周期只能购进一次新商品，否则在满足销售并且不考虑剩余商品的情况下会使得订购费成倍增加.一个周期获得的总利润为卖掉商品所获得的毛利润除去购进商品的成本，订购费以及储存费，故(11)求合适的，使得取得最大值，

5、(12)令，得到(13)由(13)式可以确定是（11）式的极值点由于(14)故是（11）式的极大值点所以要想每个周期获得最大利润，周期初应该购进商品件.这样下来每个周期的利润为：(15)把代入得：(16)要使得这个利润为正，要满足(17)即(18)结果分析模型一中的进货量是由确定，由于，可以看出每次订购的件数与订购费成正比，与储存费成反比，故当订购费越大时，每次订购的商品应该越多，储存费越大时，每次订购的商品应该越少.这与事实相符.模型二中的进货量是由确定，可以看出每个周期初订购的商品件数与储存费成反比，即当储存费越高时，周期初购进的

6、商品数应该减少，与现实相符.与是市场批发价与销售价，一般情况下我们认为是两个常量.可以看出模型二中进货量与订购价是无关的，这是由于在考虑商品过期问题的因素后，为了获得最大的利润，每个周期初要订购新商品而且每个周期只订购这一次，故每个周期需付的订购费用是一个定值，对于总利润最大不产生作用.