Discrete Fourier Transform and Its Applications to PDEs

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1、DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesDiscreteFourierTransformandItsApplicationstoNumericalPDEsYin-LiangHuangDepartmentofMathematicsNationalTaiwanUniversity,Taipei,TaiwanJanuary11,20101DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenter

2、edDierence2DcasesOutline1DiscreteFourierTransform2FastFourierTransform3DFTandCenteredDierence42Dcases2DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesContinuousFourierTransformGivenu2L2(R),TheFouriertransformofuisthefunctionub(k)denedbyZ11ikxub(k)

3、=pu(x)edx;k2R:21ThevariablekistheFouriervariableorwavenumber.3DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesContinuousFourierTransformGivenu2L2(R),TheFouriertransformofuisthefunctionub(k)denedbyZ11ikxub(k)=pu(x)edx;k2R:21ThevariablekistheFouri

4、ervariableorwavenumber.Conversely,ifub2L2(R),wecanreconstructubytheinverseFouriertransform:Z11ikxu(x)=pub(x)edk;x2R:213DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesZ11ikxu(x)=pub(x)edk;x2R:21Noticethatduc(k)=ikub(k):dx4DiscreteFourierTransformF

5、astFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesZ11ikxu(x)=pub(x)edk;x2R:21Noticethatduc(k)=ikub(k):dxdu(x)=f(x)()ikub(k)=fb(k)dxd2u(x)=f(x)()k2ub(k)=fb(k):dx24DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesZ11ikxu(x)=pub(x)edk;x2R:21Noticethat

6、duc(k)=ikub(k):dxdu(x)=f(x)()ikub(k)=fb(k)dxd2u(x)=f(x)()k2ub(k)=fb(k):dx2kukL2=kubkL2.(ThePlancherelTheorem)4DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesDiscreteFourierTransformGivenasequenceofdatafujgNj=1,wecanwriteNX11ik2juj=pubkeN;forj=1;

7、
;NNk=0andXN1ik2jubk=pujeN;fork=0;


;N1Nj=15DiscreteFourierTransformFastFourierTransformDFTandCenteredDierence2DcasesDiscreteFourierTransformGivenasequenceofdatafujgNj=1,wecanwriteNX11ik2juj=pubkeN;forj=1;


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8、im2jik2jeNeN=Nmk:j=15DiscreteFourierTransformFastFourierT