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1、第一讲极限与连续 一元函数微积分专题1.极限的求法(1)用初等数学(例如三角、对数、指数,分子与分母同乘以某式,提公因式等)中的恒等变形,使能约分的约分,能化简的化简.(2)用极限的四则运算,复合函数求极限,连续函数求极限(代入法)*(4)用等价无穷小代换(3)有极限存在且不为0的因式,可以先算出其极限提出来,再求剩下极限.*(5)利用两个重要极限求极限.*(6)用洛必达法则求未定式的极限.(7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式*(9).用定积分的定义(11).用收敛级数的必要条件*(8).用夹逼定理*(10).用单调有界证明(单调递增有上界或者单调递减有下界)设收敛,则(12
2、).柯西收敛准则(13).施笃兹(Stolz)定理专题2:求极限问题的反问题专题4:函数的连续性,间断点连续函数的性质:闭区间上的有界性、最值、零点、介值定理、根的存在性专题3:无穷小(大)及其阶专题5:导数的概念与几何意义专题6:各种导数的计算参量函数求导(一阶、二阶)隐函数求导分段函数求导莱布尼兹公式专题7、利用导数研究函数的性态单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率专题8、积分的计算1.换元法与分部积分法2.常用技巧:(1).通过适当的变量变换或分部积分,得到一个与原积分相同的积分,建立一个等式,从中得出原来要计算的积分.(2).将积分区间拆成两个,再经适当的变换将两个区间上的积
3、分合并以化简.(3).化成二重积分再交换积分次序.专题9、反常积分专题10、定积分的应用专题11:不等式问题1.微分学解决不等式问题常用方法(1).用单调性(2).用最值(3).用拉格朗日中值定理或柯西公式(4).用拉格朗日余项泰勒公式(1)利用定积分的保序性；(2)利用定积分中值定理和被积函数的单调性；(3)利用变上限定积分的单调性；(4)利用Cauchy不等式(5)利用无穷级数做估值(6)化成二重积分来处理2、定积分和反常积分中不等式问题所用的方法专题12函数零点问题,方程根的存在性(1)若题目中涉及连续函数,一般用连续函数介值定理(或连续函数零点定理);若题目中涉及导数的零点,则一般利
4、用罗尔定理或罗尔定理与连续函数介值定理(零点定理)的综合应用;如果讨论至多几个点,要利用单调性.(2)含积分的零点问题方法1:将一个定积分看做一个变限函数,关于该积分的零点问题,可用微分学中的方法处理.方法2:用积分中值定理以及积分的其它性质.方法3:以某定积分为零作为条件,讨论与此有关的函数的零点问题.判定极限存在的准则准则I夹逼准则定理:若在内（或当时）有不等式成立，且则(1)(2)两个重要极限定义:无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)常用等价无穷小:(1)(2)(3)f(x)在点a处：(1)连续(2)有极限(3)有定义则称y=f(x)在点a连续。若函数连续的定义三者关系是：跳跃间
5、断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx间断点的分类0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.闭区间上连续函数的性质导数的定义单侧导数1.左导数:2.右导数:用定义.含绝对值符号的函数怎么求导？在分段点处怎么求导？分段函数的求导写成分段函数再求导.基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐
6、函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数的求导法则高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)高阶导数的求法1.由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.求出1-3或4阶后,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)3.利用已知的高阶导数公式,通过四则运算，变量代换等方法,求n阶导数.常用高阶导数公式高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式微分的定义,求法定义(微分的实质)导数与微分的关系定理微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则微分的基本法则微分形式的不变
7、性基本初等函数的微分公式...常用麦克劳林公式：.......定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.或无穷大其他类型步骤:步骤:步骤:用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限.1o.需要先验证条件.求函数极值和最值求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求[a,b]上连续函数f(x)的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导
