数学人教版八年级下册待定系数法

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1、待定系数法知识技能目标1.使学生理解待定系数法;2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题.过程性目标1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式;2.结合图象寻求一次函数解析式的求法,感受求函数解析式和解方程组间的转化.教学过程一、创设情境一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢?问题1已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?根据一次函数的定义,可以设这个一

2、次函数为:y=kx+b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值.由已知条件x=-2时,y=-1,得-1=-2k+b.由已知条件x=3时,y=-3,得-3=3k+b.两个条件都要满足,即解关于x的二元一次方程解得所以,一次函数解析式为.问题2已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时,弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系?二、探

3、究归纳上题可作如下分析:已知y是x的函数关系式是一次函数,则关系式必是y=kx+b的形式,所以要求的就是系数k和b的值.而两个已知条件就是x和y的两组对应值,也就是当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.可以分别将它们代入函数式,转化为求k与b的二元一次方程组,进而求得k与b的值.解设所求函数的关系式是y=kx+b(k≠0),由题意,得解这个方程组,得所以所求函数的关系式是y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围)讨论1.本题中把两对函数值代入解析式后,求解k和b的过程,转化为关于k和b的二元一次方程组的问题.2.这个问题是与实际问题有关的函数,

4、自变量往往有一定的范围.问题3若一次函数y=mx-(m-2)过点(0,3),求m的值.分析考虑到直线y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知x=0时,y=3,求m.即求关于m的一元一次方程.解当x=0时,y=3.即:3=-(m-2).解得m=-1.这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所

5、求结果的方法,叫做待定系数法(methodofundeterminedcoefficient).三、实践应用例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数y的值.分析1.图象经过点(-1,1)和点(1,-5),即已知当x=-1时,y=1;x=1时,y=-5.代入函数解析式中,求出k与b.2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求x=5时,函数y的值,仍需从求函数解析式着手.解由题意,得解这个方程组,得这个函数解析式为y=-3x-2.当x=5时,y=-3×5-2=-17.例2已知一次函数的图象如下图,写出

6、它的关系式.分析从“形”看,图象经过x轴上横坐标为2的点,y轴上纵坐标是-3的点.从“数”看,坐标(2,0),(0,-3)满足解析式.解设:所求的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得解得所以所求的一次函数的关系式是.例3求直线y=2x和y=x+3的交点坐标.分析两个函数图象的交点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式.而两个函数关系式就是方程组中的两个方程.所以交点坐标就是方程组的解.解两个函数关系式组成的方程组为解这个方程组,得所以直线y=2x和y=x+3的交点坐标为(3,6

7、).例4已知两条直线y1=2x-3和y2=5-x.(1)在同一坐标系内作出它们的图象;(2)求出它们的交点A坐标;(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积;(4)k为何值时,直线2k+1=5x+4y与k=2x+3y的交点在每四象限.分析(1)这两个都是一次函数,所以它们的图象是直线,通过列表,取两点,即可画出这两条直线.(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解.(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C,结合图形易求出三角形ABC的面积.(4)先求出交点坐标,根据第四象限内的点的横坐标为正,纵坐标为负,可求出k的取值范围.解(1)

8、(2)解得所以两条直线的交点坐标A为.(3)当y1=0时,x=所以直线y1=2x-3与x轴的交

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