D96几何中的应用(VI)

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1、第六节复习目录上页下页返回结束二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数对于空间曲线的Γ的参数方程若记则(1)可表示为向量形式(2)确定了一个映射它将每一个映成一个向量因此，将此映射叫做一元向量值函数。定义设数集则称映射为一元向量值函数，记为其中D为定义域，t为自变量，为因变量。一元向量值函数是普通一元函数的推广，其自变量仍取实数值，而因变量n维向量。一元向量值函数简称向量值函数，而将普通实值函数称为数量函数。在R3中，若向量函数的分量函数依次为则向量

2、函数可表为或OxyzΓM设的起点在原点，终点为M,即当t改变时，随着改变，终点M也随着改变，其轨迹Γ称为向量函数的终端曲线，也称为向量值函数的图形。称为曲线Γ的向量方程。可以类似于数量函数来定义极限、连续、导数等：定义1设向量值函数若存在常向量，则常向量叫向量值函数或可以证明：定义2设向量值函数如果则称向量值函数在连续。可以证明：向量值函数在某点连续的充要条件是其各分量函数都在该点连续。若向量值函数在某区域上每一点都连续，则称它在该区域上连续，或称其为该区域上的连续函数。定义3设向量值函数如果存在，则称其为向量值函数在该点处的导数或导向量

3、。此时也称向量值函数在该点可导。若向量值函数在某区域上每一点都可导，则称它在该区域上可导。可以证明：向量值函数在某点可导的充要条件是其各分量函数都在该点可导。且向量值函数的导数运算法则与数量函数的导数运算法则在形式上相同，参见92面，其证明也可仿照数量函函数的导数运算法则，或对向量值函数的分量运用对应的法则证明。导向量的几何意义（92面）：OxyzΓMN导向量是点M处的一个切向量，其方向与t的增长方向一致。导向量的物理意义（93面）：速度向量、加速度向量。例1设解例2空间曲线Γ的向量方程为求曲线Γ在点t=2相应点处的单位切向量。解于是由导

4、数的几何意义知，曲线Γ在点t=2相应点处的单位切向量为和前者指向与t的增长方向一致，后者相反。例3一人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿位置向量的路径螺旋式向上，求(1)滑翔机在任意时刻t的速度、加速度向量：(2)滑翔机在任意时刻t的速率（速度的大小）：(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻：复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因机动目录上页下页返回结束二、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M处

5、的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况切线方程机动目录上页下页返回结束此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.机动目录上页下页返回结束不全为0,因此得法平面方程说明:若引进向量函数,则为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束,故2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上

6、页下页返回结束则在点切线方程法平面方程有或机动目录上页下页返回结束也可表为法平面方程机动目录上页下页返回结束例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束三、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该

7、点的切平面.机动目录上页下页返回结束上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:机动目录上页下页返回结束在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在

8、点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束例4.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录