高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案含解析

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1、四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：(φ为参数)．　　　　　　　求圆的渐开线的参数方程　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．　关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．　以圆心为原点O，绳端点的初始位

2、置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则

3、AM

4、＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得＝＋＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．6又＝(x，y)，因此有(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量

5、方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．(2)取定点运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线(t是参数)上与t＝对应的点的直角坐标为(　　)A.B.C.D.答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得这就是所求的圆的渐开线的参数方程.　　　　　　　　求摆线的参数方程　求半径为2的圆的摆线

6、的参数方程．　利用向量知识和三角函数的有关知识求解．　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如上图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，向量＝(2α，2)，向量＝(2sinα，2cosα)，6＝(－2sinα，－2cosα)，因此＝＋＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)，所以这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)

7、根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线(t是参数，0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解：由题意设M(xM，yM)，则xM＝r·φ－rcos＝r(φ－sinφ)，yM＝r＋rsin＝r(1－cosφ)．即点M的轨迹方程为(φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其

8、横坐标可能是(　　)A．πB．2πC．12πD．14π解析：选C　根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②6圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有(　　)A．①③B．②④C．②③D．①③④解析：选C　对于一个

9、圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.解析：选C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，∴

10、AB

11、＝＝.64.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其