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1、1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒o如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽诱思探究MOyxP(a,b)1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOx1M2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点那么:（1）叫做的正弦，记作，即；（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量
2、，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.xyo的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，无意义，此时轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义任意角的三角函数例1.求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单
3、位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?实例剖析﹒﹒P15.1几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、于是，∽设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.那么①叫做的正弦，即②叫做的余弦，即③叫做的正弦，即任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：练习41.根据三角函数的定义，确定它们的定义
4、域（弧度制）探究三角函数定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”+--+--++-+-心得:角定象限,象限定符号.例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的
5、同一三角函数值相等（公式一）其中利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.？例题（1）因为是第三象限角，所以；（3）因为=而是第一象限角，所以解：（2）因为是第四象限角，所以解：6.已知在第二象限,试确定sin(cos)cos(sin)的符号.解:∵在第二象限,∴-10.∴sin(cos)cos(sin)<0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.1.内容总结：①三角函数的概念.②
6、三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：MAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1
7、,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
8、MP
9、=
10、y
11、=
12、sinα
13、
14、OM
15、=
16、x
17、=
18、cosα
19、当角α的
