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1、1.计算方法实际计算时.由于受计算机字长限制而导致的误差称为舍入误差。2.x*=1.1021是经过四舍五入得到的近似数.有5位有效数字.相对误差限为0.5*10-4。3.利用二分法求方程1-x-sinx=0在[0,1]内的根要二分15次。（e£0.5*10-4）4.写出用Newton法建立求的迭代公式xk+1=(xk2+b)/2xk。5.使用矩阵分解法求解线性方程组时.平方根法适用于系数矩阵为对称正定矩阵的方程组.追赶法适用于系数矩阵为三对角阵的方程组。6.设线性方程组Ax=b.为.则
2、
3、A
4、
5、2=14.933,Cond¥(A)为289
6、.若右端向量有扰动db=(0.01,-0.01)T.则解的相对误差限为2.89。7.求解数值积分的Simpson公式的代数精度为：3.若将积分区间n等分.步长为h,则复化Simpson公式的截断误差为h的几阶无穷小,即O(h？4)8.应用龙贝格求积公式求积分.其整个计算过程的特点是：将积分区间逐次分半.并将每一公式先后两次的计算结果按一定线性组合构成新的精度较高近似值。9.常微分方程初值问题的数值解法分为单步和多步.显式和隐式.下列方法属于哪一类？龙格-库塔法：单步、显式.阿当姆斯内插公式：多步、隐式。10.若s(x)=.是以0,1,2
7、为节点的三次样条函数.则b=-2.c=3。得分二、解答题（24分.每题6分）1.看书上或课件定义2.-1422-310521x1x2x3598对于方程组试构造一收敛的高斯-赛德尔迭代格式.并说明收敛理由。..521-1422-310x1x2x3859解：将方程组变换为：系数矩阵为严格对角占优阵.则方程组存在收敛的高斯-赛德尔迭代格式。把方程组等价变形为：收敛的高斯-赛德尔迭代格式为：3.以线性拟合为例简述最小二乘原理。答：设近似函数为y=a+bx.R=。根据极值理论.要使R达到最小.必有：.由方程组可以解出a.b的值.从而得到拟和曲线的
8、表达式。4.确定下列求积公式的常数a.使其代数精度尽量高.并判定其具有的代数精度。解：当f(x)=1时：..当f(x)=x时：当f(x)=x2时：.解得：a=1/12当f(x)=x3时：当f(x)=x4时：说明所求求积公式具有三次代数精度。得分三、证明题（16分.每题8分）1.若f(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn).xi互异.证明当k=n+1时f[x0,x1,...,xk]=1。证明：由差商性质：当k<=n时=当k=n+1时=0+2.证明对于牛顿-科特斯求积公式的科特斯系数有。证明：由牛顿-科特斯求积公式：..设f(x)
9、=1则=0。所以：.即：得分四、计算题（26分）1.（10分）给出sinx在[0.4,0.7]的数值表x0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.564640.64422如果使用二次插值求sin0.63891的近似值.问如何选取结点.才使其近似值的误差较小？并求该近似值.小数点后保留5位数字。（注意：拉格朗日插值与牛顿插值两种方法任选.若采用牛顿插值.构造出差商表）解：应选三个节点.使截断误差
10、R2(x)
11、<=
12、f(3)(x)
13、
14、(x-x0)(x-x1)(x-x2)
15、尽量小。故最靠近0.63891的三个节点一定满足
16、要求。显然.取{0.5,0.6,0.7}。（1）采用拉格朗日插值：L2(x)==所以：sin0.63891L2(0.63891)..=====0.59627（2）采用牛顿差值：xiyi一阶差商二阶差商0.50.479430.60.564640.85210.70.644220.7958-0.2815N2(x)=0.47943+0.8521(x-0.5)-0.2815(x-0.5)(x-0.6)所以sin0.63891N2(0.63891)=0.47943+0.8521*(0.63891-0.5)-0.2815*(0.63891-0.5)*
17、(0.63891-0.6)=0.47943+0.8521*0.13891-0.2815*0.13891*0.03891=0.47943+0.11837-0.00152=0.596282.（8分）设max
18、f’’(x)
19、<=,xÎ[2,8].用复化梯形公式计算的近似值时.为使截断误差的绝对值不超过.至少应将[2,8]分为多少等份？解：用复化梯形公式.截断误差：Rn(f)=..因为max
20、f’’(x)
21、<=所以
22、Rn(f)
23、<=解得n>=671所以至少分为671等份。3.（8分）用欧拉预报-校正法求初值问题在x=0.3.0.6处的数值解.步
24、长h=0.3.小数点后保留5位数字。解：由预报-校正公式有：h=0.3,n=0,1,2,...利用上述公式.及y(0)=0得：y(0.3)y1=0.3138y(0.6)y2=0.69026..一.填空k1．
