二次函数的应用——面积最大问题教学设计

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1、二次函数的应用——面积最大问题教学设计南郑县协税中学教师--------刘丽2017.3.26教学目标(一)教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)能力训练要求1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基

2、本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．教学方法教师指导学生分层自学法．教具准备：多媒体教学过程一、温故

3、知新1、二次函数图象的顶点坐标有几种求法？2、对于二次函数：y＝－x2＋2x，图象的形状是，开口方向；顶点坐标，对称轴；当x=时，y有最值。二、．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．三．新课讲解一、例题讲解投影片：(§2．7A)如下图，在一个直角三角形

4、的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．(1)设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？[师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．下面请大家讨论写出步骤．[生](1)∵BC∥AD，∴△EBC∽△EAF．∴．又AB＝x，BE＝40－x，∴．∴BC＝(40

5、－x)．∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－(x2－40x＋400－400)＝－(x2－40x＋400)＋300＝－(x－20)2＋300．当x＝20时，y最大＝300．即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．[师]很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？[生]不很难．[师]下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD边的长为xm，则问题会怎样呢？与同伴交流．[生]要求面积需

6、求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．解：∵DC∥AB，∴△FDC∽△FAE．∴．∵AD＝x，FD＝30－x．∴．∴DC＝(30－x)．∴AB＝DC＝(30－x)．y＝AB·AD＝x·(30－x)＝－x2＋40x＝－(x2－30x＋225－225)＝－(x－15)2＋300．当x＝15时，y最大＝300．即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．二、做一做投影片：(§2．7B)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15

7、m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？[生]可以．分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．解：∵7x＋4y＋πx＝15，∴y＝．设窗