北京大学复摆实验报告

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1、复摆实验报告June3,20161实实实验验验目目目的的的1).研究复摆的物理特性;2).用复摆测定重力加速度;3).用作图法和最小二乘法研究问题及处理数据。2仪仪仪器器器用用用具具具复摆器材套装(量程58cm,最小刻度1mm）;光电计时器（最小分度值0.1ms）;电子天平（最小分度0.01g）;米尺（最小分度1mm）;3实实实验验验原原原理理理Figure1:复摆示意图3.1复复复摆摆摆的的的振振振动动动周周周期期期公公公式式式在重力作用下,绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆(即物理

2、摆).设一复摆(见Figure1)的质量为m,其重心G到转轴O的距离为h,g为重力加速度,在它运动的某一时刻t,参照平面(由通过O点的轴和重心G所决定)与铅垂线的夹角为0,相对于O轴的恢复力矩为1M=mghsin(1)根据转动定理,复摆(刚体)绕固定轴O转动,有M=I(2)其中M为复摆所受外力矩，I为其对O轴的转动惯量，β为复摆绕O轴转动的角加速度,且d2=(3)dt2则有M=I(4)结合(1)和(3),有d2I+mghsin=0(5)dt2当摆角很小的时候,sinH,(5)化为d2

3、mgh+=0(6)dt2I解得=Acos(!t+0)(7)qmgh式中A由初条件决定;ω是复摆振动的角频率，!=，则复摆的摆动周期为IT=2mghI(8)3.2复复复摆摆摆的的的转转转动动动惯惯惯量量量，，，回回回转转转半半半径径径和和和等等等值值值单单单摆摆摆长长长由平行轴定理,I=G+mh2,式中I为复摆对通过重心G并与摆轴平行的轴的转动惯量,IG(8)可写为sIG+mh2T=2(9)mgh可见,复摆的振动周期随悬点O与质量中心G之间的距离h而改变。还可将I=IG+mh2改写为I=

4、mR2+mh2=mR2(10)GrrIGI式中RG=为复摆对G轴的回转半径,同样也有R=，R称为复摆对悬点O轴mm的回转半径。复摆周期公式也可表示为sR2G+hT=2h(11)g事实上,总可以找到一个单摆,它的摆动周期等于给定的复摆的周期,令R2L=G+h(12)h则sLT=2(13)g2式中L称为复摆的等值单摆长。这样,就它的振动周期而论,一个复摆的质量可以被认为集中到一个点上,这个点距悬点(支点)的距离为R2L=G+h(14)h则这个点被称为复摆的振动中心。3.3复复复摆摆摆的的的共共共

5、辄辄辄性性性Figure2:复摆共轭性示意图Figure2给出一个复摆的示意图,假如它的振动中心在C点,悬点(支点)在O点。C点和O点有下列特性:如果这个摆绕过C点的一个新轴摆动,且该新轴平行于过O点的轴,它的周期不变。而O变成了新的振动中心,这个悬点O和振动中心C被称作互为共轭,即这个复摆以O为悬点和以C为悬点时有相同的周期,分别用T1和T2表示,且T1=T2，还有OG=h1;CG=h2从(11)得到T2gh2h+R2=0(15)42G(15)是h的二次方程，有两个根h1和h2，它们之

6、间有以下关系hh=R2(16)12GT2gh1+h2=(17)423很容易得到L=hl+h2,此结果表示(15)的两个根h1和h2之和恰等于复摆的等值单摆长。(注意：这里一般h16=h2)3.4利利利用用用复复复摆摆摆测测测定定定重重重力力力加加加速速速度度度g3.4.1法法法一一一：：：直直直线线线拟拟拟合合合(9)可以直接得到复摆振动周期T与h(摆动轴到重心距离)的关系mgT2h=42I+42mh2(18)G即4242IT2h=h2+G(19)gmg改变h,有相应的T2h与h2成直

7、线关系,由直线斜率可求出g。3.4.2法法法二二二：：：两两两点点点法法法由(9)sIG+mh2T=21(20)1mgh1sIG+mh2T=22(21)2mgh2将两式中IG消去，则有42T2+T2T2T21212=+(22)g2(h1+h2)2(h1h2)2222利用(22)可以较精确地测定g。在(22)中,令A=T1+T2;B=T1T2可以看到：A项2(h1+h2)2(h1h2)是能被精确测定的,B项则不能被精确测定,因为其中包含了对重心位置的测定。不过,当T1≈T2时，B项的

8、分子很小,而又可使分母

9、hl-h2

10、比较大,这一不能被精确测定的B项的数值很小,从而对g的影响不大。我们也可将B项看作是由于两悬点间距离OC不等于等值单摆长L而作的修正。3.4.3法法法三三三：：：利利利用用用复复复摆摆摆周周周期期期与与与摆摆摆轴轴轴位位位置置置的的的关关关系系系图图图求求求gFigure3给出一个质量分布均匀的复摆的周期T与h的关系图。T-h图是两条对称曲线,T有极小值.由(11),对h求微商,有dTRh1R2=(G+)1=2(G)(23)dhghgggh2由极值的位置