傅里叶级数展开

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1、§1.函数的傅里叶级数展开一.傅里叶级数的引进在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如Asint的波,其中A是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设ft是一个周期为T的波,在一定条件下可以把它写成ftAAsinnt0nnn1A0ancosntbnsinntn12其中Asinntacosntbsinnt是n阶谐波,nnnnT我们称上式右端的级数是由ft所确定的傅里叶级数二.三角函数的正交

2、性设c是任意实数,c,c2是长度为2的区间,由于三角函数coskx,sinkx是周期为2的函数,经过简单计算,有c22coskxdxcoskxdx0,c0k1,2,c221sinkxdxsinkxdx0,c0利用积化和差的三角公式容易证明c2sinkxcoslxdx0cc2sinkxsinlxdx0kl;l1,2,2cc2coskxcoslxdx0c还有c222221cos2kxcoskxdxcoskxdxdxc

3、002c223sinkxdxk1,2,cc221dx2c我们考察三角函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,其中每一个函数在长为2的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零见1,2，而每个函数自身平方的积分非零见3。我们称这个函数系在长为2的区间上具有正交性。三、傅里叶系数设函数fx已展开为全区间设的一致收敛的三角级a0数fxakcoskxbksinkx现在利用三角函数2k1系数的正交性来研究系数a,a,

4、bk1,2,与fx的0kk关系。将上述展开式沿区间,积分，右边级数可以逐项积分，由1得到a0fxdx2a021afxdx0即又设n是任一正整数，对fx的展开式两边乘以cosnx沿,积分，由假定，右边可以逐项积分，由1,2和3，得到fxcosnxdxa0cosnxdxacoskxcosnxdxbsinkxcosnxdxkk2k12acosnxdxann即1afxcosnxdxn1b

5、fxsinnxdxn同样可得因此得到欧拉-傅里叶公式1afxcoskxdxk0,1,2,k1bfxsinkxdxk0,1,2,k自然，这些系数也可以沿别的长度为2的区间来积分。以上是在fx已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为2的函数fx在区间,上可积和绝对可积（如果fx式有界函数，则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；如果fx是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都

6、是可积和绝对可积了），就可a,b以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数k，从而作k出三角级数a0acoskxbsinkxkk2k1我们称这级数是fx关于三角函数系1,cosx,sinx,的傅里叶级数，而ak,bk称为fx的傅里叶系数，记为a0fx~acoskxbsinkxkk2k1四、收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法。设函数fx在,上可积和绝对可积a0fx~acoskxbsinkxkk2k1若fx在x点的左右极限fx0和fx0都存在，并且两个广义单侧导数fx

7、xfx0fxxfx0lim,limx0xx0x都存在，则fx的傅里叶级数在x点收敛。当x是fx的连续点时它收敛与fx，当x是fx的间断点（一定是第一类间断点）时收敛于1fx0fx02例1在,上展开函数fxx为傅里叶级数。例2在,上展开函数c1,x0fxc2,0x为傅里叶级数。例3在0,2上展开fxx为傅里叶级数。例4将fxx在0,上展开为余弦级数。例5将以下函数展开为正弦级数x1sin,0x

8、l2fx10,xl2五、傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的n阶谐波ancosnt