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时间:2019-06-19
《高等数学(下册)期末复习试题及答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一、填空题(共21分每小题3分)1.曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为.2.直线与直线的夹角为.3.设函数,则.4.设级数收敛,则.5.设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于.6.全微分方程的通解为 .7.写出微分方程的特解的形式.二、解答题(共18分每小题6分)1.求过点且垂直于直线的平面方程.解:设所求平面的法向量为,则(4分)所求平面方程为(6分)2.将积分化为柱面坐标系下的三次积分,其中是曲面 及所围成的区域.解: (3分)(6分)3.计算二重积分,其中闭区域解三、解答题(共35分每题7分)1.设,而,,求.解:(3
2、分)(6分)(7分)2.函数由方程所确定,求.解:令,(2分)则 (5分) ,.(7分)3.计算曲线积分,其中是在圆周上由到点的有向弧段.解:添加有向辅助线段,有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为,根据格林公式(5分)(7分)4.设曲线积分与路径无关,其中是连续可微函数且满足,求.解:由 得, 即(3分) 所以,(6分) 代入初始条件,解得,所以.(7分)5.判断级数的敛散性.解:因为(3分)(6分)故该级数收敛.(7分)四、(7分)计算曲面积分,其中是上半球面的上侧.解:添加辅助曲面,取下侧,则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得
3、 (4分) (6分) .(7分)五、(6分)在半径为的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.解:设三角形各边所对圆心角分别为,则, 且面积为, 令(3分)由(4分)得.此时,其边长为.由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三角形时其面积最大.(6分)六、(8分)求级数的收敛域,并求其和函数.解:,故收敛半径为.(2分)当时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛;当时,级数为调和级数,发散.故原级数的收敛域为.(5分)设和为,即,求导得,(6分)再积分得,(8分)七、(5分)设函数在正实轴上连续,且等式对任何成
4、立.如果,求.解:等式两边对求偏导得(2分)上式对任何仍成立.令,且因,故有.(3分)由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得 即.故通解为 .当时,,故.因此所求的函数为.(5分)八.(5分)已知,, 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.解1:由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无 关的解,是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 将代入上式,得,因此所求的微分方程为 解2:由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无 关的解,是非齐次方程的一个特解,故是所 求微分方
5、程的通解,从而有 , 消去,得所求的微分方程为 06高数B一、填空题(共30分每小题3分)1.坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为.2.设函数,则.3.直线与直线的夹角为.4.设是曲面及所围成的区域积分,则化为柱面坐标系下的三次积分形式是. 5.设是圆周,取正向,则曲线积分 . 6.幂级数的收敛半径.7.设级数收敛,则.8.设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅 里叶级数在处收敛于.9.全微分方程的通解为 .10.写出微分方程的特解的形式.二、解答题(共42分每小题6分)1.求过点且垂直于直线的平面方程.
6、解:设所求平面的法向量为,则 (4分)所求平面方程为(2分)2.函数由方程所确定,求.解:令, (2分)则 .(2分) .(2分) 3.计算,其中是由直线及所围成的闭区域. 解法一:原式 (2分).(4分) 解法二:原式.(同上类似分)4.计算,其中是由即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.解:选极坐标系 原式(3分) (3分)5.计算,其中是曲线上由到的一段弧.解:原式(3分)(3分)6.判断级数的敛散性.解:因为(3分),(2分) 故该级数收敛.(1分)7.求微分方程满足初始条件的特解.解:特征方程,特征根 通解
7、为, (3分) ,代入初始条件得, 所以特解. (3分)三、(8分)计算曲面积分,其中是上半球面的上侧.解:添加辅助曲面,取下侧,则在由和所围成的 空间闭区域上应用高斯公式得 (4分) (2分) .(2分)四、(8分)设曲线积分在右半平面内 与路径无关,其中可导,且满足,求. 解:由, 得, 即,(3分) 所以 ,(3分)代入初始条件,解得,所以.(2分)五、(6分)求函数的极值.解:得驻点 (3分) 在点处, 故非极值;在点处, 故是极小
8、值.(3分)六、(6分)试证:曲面上任一点处的切平面都过原点.证:因(3分)则取任意点,有,得切平面方程为即故切平面过原点
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