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1、1.个体与集合之间的关系称为属于关系。2.对于两个集合A，B，若A中的每个元素x都是B的一个元素，则称A包含在B中（或者说B包含A），记为AÍB。同时称A是B的子集（称B是A的超集(superset)）。即AÍBÛ"x(xÎAÞxÎB)。3.集合与集合之间的关系有四种。列举如下(1)B包含A，AÍBÛ"x(xÎAÞxÎB)；(2)A包含B，BÍAÛ"x(xÎBÞxÎA)；(3)A等于B，A=BÛ"x(xÎBÛxÎA)ÛAÍBÙBÍA；(4)A与B互不包含，Ø(AÍB)ÙØ(BÍA)Û$x(xÎAÙxÏB)Ù$y(yÎBÙyÏA)交、并、余运算的基本定理设X是全集，A，B，C是X的三
2、个子集。则(1)幂等律：A∩A=A，A∪A=A；(2)互补律：A∩A¢=Æ，A∪A¢=X；(2’)零壹律：A∩X=A，A∪X=X；(全集是交的幺元,并的零元)(2”)零壹律：A∩Æ=Æ，A∪Æ=A；(空集是交的零元,并的幺元)(3)上界：AÍA∪B，BÍA∪B； 下界：A∩BÍA，A∩BÍB；(3’)上确界：AÍCÙBÍCÞA∪BÍC；(并集A∪B是同时包含A和B的集合中最小的一个)(3”)下确界：CÍAÙCÍBÞCÍA∩B；(交集A∩B是同时被A和B所包含的集合中最大的一个)(4)吸收律：A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A；(5)交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；(6)
3、结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(7)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；deMorgan律（也叫对偶律）设A，B为两个集合。则(1)(A∪B)¢=A¢∩B¢，(2)(A∩B)¢=A¢∪B¢。差运算基本定理 设X是全集，A，B，C是X的三个子集。则(1)ABÍA；(2)AÍBÞAB=Æ；(3)AA=Æ；(4)XA=A¢；AX=Æ；(5)AÆ=A；ÆA=Æ；(6)A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)(交对差的分配律)；(7)A(BC)=(AB)∪(A∩C)；(8)A(B
4、∪C)=(AB)∩(AC)(相对补的deMorgan律)；(9)A(B∩C)=(AB)∪(AC)(相对补的deMorgan律)。环和运算基本定理设X是全集，A，B，C是X的三个子集。则 (1)AÅB=(A∪B)(A∩B)=(A∪B)∩(A¢∪B¢)；(2)AÅÆ=A（空集是环和的幺元）； AÅX=A¢；(3)AÅA=Æ（自己是自己（环和）的逆元）；AÅA¢=X；(4)A¢ÅB¢=AÅB；(5)(AÅB)¢=A¢ÅB=AÅB¢；(6)交换律：AÅB=BÅA；(7)结合律：AÅ(BÅC)=(AÅB)ÅC；(8)分配律：A∩(BÅC)=(A∩B)Å(A∩C)(交对环和的)；
5、(9)消去律：AÅB=AÅCÞB=C4.叉积，笛卡尔积 ·n个集合A1，A2，¼，An的n维叉积定义为=A1×A2×¼×An={(a1,a2,¼,an):aiÎAi(1£i£n)}； ·n维叉积A1×A2×¼×An的每个元素(a1,a2,¼,an)都称为一个n元组（n-tuple）；即，叉积是元组的集合； ·每个n元组(a1,a2,¼,an)的第i个位置上的元素ai称为该n元组的第i个分量（坐标或投影）；元组各分量的顺序不能改变； ·n称为该叉积及其元组的维数； ·两个元组相等Û它们的维数相同且对应的分量相等。即 (a1,a2,¼,an)=(b1,b2,¼,bm)Ûn=mÙ("i
6、ÎN)(1£i£n)(ai=bi)；5.叉积定义二：·二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为A×B={(a,b):aÎAÙbÎB}； ·其元素——二元组(a,b)通常称为序偶或偶对(orderedpair)； ·二元组(a,b)的第一分量上的元素a称为前者；第二分量上的元素b称为后者； ·二重叉积的A´B第一集合A称为前集；第二集合B称为后集。自反关系(reflexiverelation)：当且仅当R满足 自反性：("xÎX)(xRx)；显然，对于自反关系R，Ã(R)=Â(R)=X反自反关系(irreflexiverelation)：当且仅当R满足 反自反性：("xÎX)()或(
7、"xÎX)Ø(xRx)；对称关系(symmetricrelation)：当且仅当R满足 对称性：("xÎX)("yÎX)(xRyÞyRx)；6.反对称关系(antisymmetricrelation)：当且仅当R满足 反对称性：("xÎX)("yÎX)(xRyÙyRxÞx=y)·对称性和反对称性是关系的两个极端性质；因此，对称关系和反对称关系是两种极端关系； ·从关系矩阵来看：对称关系的关系矩阵是对称矩阵。即xij=xji(1£i,j£n)；反对称关系的关系矩阵
