矩阵程序大作业—说明文档

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1、LU分解、QR分解Householderreduction、Givensreduction1.输入输出参数的含义Factorization_and_Reduction.m中输入输出参数的含义：输入参数：A：待分解的矩阵mode：工作模式的选择mode=0：函数进行LU分解mode=1：函数进行QR分解mode=2：函数进行Householdreductionmode=3：函数进行Givensreduction输出参数：flag_right：分解或约减成功标志，为0时表示失败，为1时表示成功B1,B2,B3，在不同模式下的

2、含义如下mode=0：B1=L：下三角阵；B2=U：上三角阵；B3=P：permutationmatrix；满足PA=LU。mode=1：B1=Q：R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；B2=R：上三角阵；B3=0：没有实际意义，默认值为0；满足A=QR。mode=2：B1=P：由反射得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；B2=T：上梯形阵；B3=P_T：P的转置；满足PA=T和A=P_T*T。mode=3：B1=P：由旋转得到的单位正交阵(unitarymatrixorort

3、hogonalmatrix)；B2=T：上梯形阵；B3=P_T：P的转置；满足PA=T和A=P_T*T。1.实验步骤和原理1）LU分解（1）输入待分解的矩阵：（2）判断输入矩阵A是否为方阵，如果不是，不进行LU分解。（3）根据矩阵A的大小，初始化矩阵L，U，P和标签label（用于记录行交换后行的位置，将其初始化为）。（4）j从1到n循环执行以下步骤（j表示第j个主元）：①在第j列以下位置中寻找第一个非零元素作为第j个主元，即从中寻找第一个非零元素作为主元。②如果找到的非零主元不在第j行，而是在第i行，分别交换A和L中第

4、i行和第j行，交换label中第i个和第j个元素。③将A的第j行赋给U的第j行，并将L中位置元素赋1。④将A中主元以下的元素变为0，并将消元时主元行需要乘的系数赋给L的相应位置元素，如：将主元以下的变为0时，L中位置的元素。（5）对矩阵P进行赋值，即将P的第i行的第label(i)个元素赋为1，其他元素为0。（6）判断矩阵A是否为奇异阵：查看矩阵U的主元位置是否存在0元素，如果存在则U为奇异阵且A也为奇异阵，此时A不能进行LU分解。（7）对分解结果进行验证，计算是否成立，若成立，则分解正确。2）QR分解（1）输入待分解的

5、矩阵：（2）k从1到n循环执行以下步骤：①如果k=1，（表示矩阵A的第一列）；否则，（表示矩阵A的第k列，表示矩阵Q的第i列，）。②矩阵Q的第k列：③给矩阵R的第k行赋值：（3）循环结束即可得到Q矩阵和R矩阵。下面验证以上QR分解的结果是否正确：①验证Q矩阵的各列是否相互正交且各列的模为1，即验证是否成立。②验证是否成立。若以上两个条件均满足，则QR分解正确。3）Householderreduction（1）输入待处理的矩阵：（2）初始化矩阵P为单位矩阵I。（3）k从1到n循环执行以下步骤：①令矩阵Ak是P*A的第k行k

6、列下方右方构成的矩阵，如k=2，Ak矩阵如下图红框所示：Ak②令③④构造m*m的矩阵⑤更新P：⑥用P*A的第k+1行和k+1列下方右方的元素构成的矩阵更新Ak（4）以上循环结束以后，即可得到矩阵P，矩阵T=P*A。（5）下面验证以上Householderreduction的结果是否正确：①验证P是否是单位正交矩阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)，即验证是否成立。②验证是否成立。若以上两个条件均满足，则Householderreduction分解正确。4）Givensreduction（1

7、）输入待处理的矩阵：（2）初始化矩阵P为单位矩阵I。（3）k从1到n循环执行以下步骤：利用旋转矩阵，使得原矩阵k列中k行元素以下的元素为0则j从k+1到m循环执行以下步骤：①令矩阵Ak等于P*A②，③令，然后用c去替代中第k行k列的元素，用s去替代中第k行j列的元素，用-s去替代中第j行k列的元素，用c去替代中第j行j列的元素。④更新P：⑤更新Ak：（4）以上循环结束以后，即可得到矩阵P，矩阵T=P*A。（5）下面验证以上Givensreduction的结果是否正确：①验证P是否是单位正交阵(unitarymatrixo

8、rorthogonalmatrix)，即验证是否成立。②验证是否成立。若以上两个条件均满足，则Givensreduction分解正确。1.实验结果截图1)当输入矩阵A为方阵例：（1）LU分解显示结果中变量含义：L：下三角阵；U：上三角阵；P：permutationmatrix。（2）QR分解显示结果中变量含义：Q：R