2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案

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1、MadebyMagneto2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷2000年12月24日考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数≤的反函数.2．若复数z满足方程（是虚数单位），则z=.3．函数的最小正周期为.4．二项式的展开式中常数项的值为.5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为.6．圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.7．计算：.8．若非零向量、满

2、足

3、

4、=

5、

6、，则与所成角的大小为.9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是.（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是.11．关于的函数有以下命题：（1）对任意的都是非奇非偶函数；（2）不存在使既是奇函数，又是偶函数；（3）存在使是奇函数；（4）对任意的都不是偶函数．其中一个假命题的序号是.因为当=时，该命题的结论不成立．12．甲、乙两人于

7、同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都

8、写在圆括号内），一律得零分．13．若、为实数，则>>0是的（）(A)充分不必要条件(B)充要条件(C)必要不充分条件(D)既非充分条件也非必要条件14．若直线=1的倾斜角为，则（）(A)等于0(B)等于(C)等于(D)不存在15．若有平面与，且，则下列命题中的假命题（）(A)过点P且垂直于的直线平行于(B)过点P且垂直于的平面垂直于(C)过点P且垂直于的直线在内(D)过点P且垂直于的直线在内16．若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（）(A)(B)(C)(D)三、解答题（本大题满分8

9、6分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．5/5MadebyMagneto17．（本题满分12分）已知R为全集，A=，B=，求．18．（本题满分12分）已知，试用表示的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．（1）求关于的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2

10、个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小

11、题满分7分．已知椭圆C的方程为，点的坐标满足．过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点．求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立．5/5MadebyMagneto2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、填空题1．2．3．4．205．6．7．8．9．10．,,,等．11．（1）；（1）

12、；（4）等．（两个空格全填对时才能得分．其中也可以写成任何整数）12．219.01二、选择题13．A14．C15．D16．B三、解答题17．[解]由已知．由解得．所以．由，解得．所以．于是，故．18．[解]因为，所以．因而．又，于是．因此．19．[解]（1）设为正四棱锥的斜高．由已知解得．（2）．易得．5/5Made