高二数学期末复习专题---应用题--答案

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1、高二数学期末复习专题---应用题答案1．（2017•湘西州模拟）如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？【分析】（1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM；（2）设AP2=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式

2、即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．【解答】解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：==所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP=sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）=[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4=[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°））当且仅当

3、2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．故答案为：（1）AN=，AM=第11页（共11页）（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键．　2．（2017•江苏模拟）如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计

4、方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP中，CP2=CO2+OP2﹣2

5、OC•OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ），又因为△COP得面积S△COP=OC•OP=sinθ，所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，第11页（共11页）当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin（θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π

6、，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，此时cos（θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=【点评】本题考查了利用三角形有关知识解决实际问题，考查了转化思想，解决问题的能力，属于中档题．3．（2017•滨海县校级二模）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=

7、α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin（α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．第11页（共11页）【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得

8、A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin（α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin（α+）=3