第13章 民事诉讼有哪些特殊的证明

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1、矩阵理论-第二讲兰州大学信息科学与工程学院2004年回顾与复习矩阵理论的应用背景；矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵（adjointmatrix,NOTadjacentmatrix）、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂线性空间：非空集定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群）；定义了数乘，满足4条有关数乘的规律；回顾与复习（Continue）线性映射（线性算子、线性变换）同一数域上的线性空间到线性空间

2、的映射线性泛函线性空间到数域的映射线性子空间非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同子空间的维数不超过其全空间的维数子空间的维数=生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩回顾与复习（Continue）单独一个就已经线性相关了，所以规定零子空间的维数为0，并且规定它的基为空集X是线性子空间，，集合是子空间，当时，是由x生成的一维子空间YXZbac回顾与复习（Continue）YXZ不相关回顾与复习（Continue）线性方程组解的结构齐次非齐次回顾与复习（Continue）方阵的特征值与特征向量特征矩阵回顾与复习（Continue）特征多项式特征方程特征值与特征向量（Contin

3、ue）特征值的代数重数若是的k重特征值，则称λ的代数重数为k特征值的几何重数的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间，记为。特征子空间的维数称为A的特征值λ的几何重数特征值的几何重数不超过它的代数重数：若是的k重特征值，则特征值与特征向量（Continue）矩阵的多项式设f(λ)是λ的多项式：运算结果是一个数对，定义为矩阵A的多项式：运算结果是一个上的矩阵矩阵的多项式的特征值和特征向量若是的特征值，是A的属于λ的特征向量，那么x也是的属于特征值的特征向量：(对A的任一特征值λ）特征值与特征向量（Continue）证明:由方阵的幂的定义，有那么如果特征值与特征向量（Contin

4、ue）属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线性无关设是的互异特征值，是分别与对应的个线性无关的特征向量，则线性无关推论：属于不同特征值的特征向量必线性无关证明：对特征值的个数用归纳法。当k=1时，显然成立。设时成立，需要证明k=m时也成立。特征值与特征向量（Continue）为此，设有F上的常数：使得：用乘以上式两边：用A左乘（1）式两端，并注意到：又有(2)式与(3)式相减(1)(2)(3)特征值与特征向量（Continue）即：又因为互异，故：将上式代入(1)式，得即k=m时，定理也成立的线性无关的特征向量特征值与特征向量（Continue）方阵的迹设，定义为

5、方阵A的迹定理有且仅有n个特征值，且若是A的n个特征值，则的特征值是，而的特征值为特征值与特征向量（Continue）证明对A的阶数用归纳法。A的阶数为1时，，定理成立。设A的阶数为n–1时定理成立，需要证明A的阶数为n时，定理也成立。由行列式的性质特征值与特征向量（Continue）特征值与特征向量（Continue）特征值与特征向量（Continue）上式中再令上式中λ＝0，则又因为是的n个根，所以比较上式中的系数和常数项：特征值与特征向量（Continue）由上式可以立即得到两条推论：满秩A的所有的特征值都异于零对，0是A的特征值证明也是的特征值证明是的特征值：特征值与

6、特征向量（Continue）用数学归纳法证明方阵乘积的迹定理设，则证明：设，，则AB的对角线元素为而BA的对角线元素为于是改变求和顺序方阵的相似方阵相似的定义设，若使得则称A与B相似，记作相似矩阵的性质自反性对称性传递性，保秩性行列式相等矩阵函数相似特征多项式、特征值相同方阵的相似（Continue）设因为，所以使得那么方阵的对角化方阵可对角化的定义对，若，则称方阵A可对角化问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？方阵可对角化的充要条件可对角化A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数证明：（充分性）设有n个特征值：方阵的对角化方阵可对角化的

7、定义对，若，则称方阵A可对角化问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？方阵可对角化的充要条件可对角化A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数，即：方阵的对角化（Continue）可对角化方阵的对角化方法由的基构成的矩阵可使证明：先证充分性。设有n个特征值：且方阵的对角化（Continue）为的基，因互异，根据“属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线性无关”，A的n个特征向量线性无关，因此注意到于是方阵的对角化（Continue）于是r1列r1行方阵的对角化