离散数学第六章集合代数x

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1、第二部分集合论（集合代数、二元关系）第六章集合代数一、集合的基本概念(不可精确定义的概念)1、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；全体中国公民的集合；论文中全部概念的集合；宇宙中的全部星球；注意：1）集合一般用大写字母来标记：A,B,C……等2）集合的成员或元素。集合的成员一般用小写字母标记：a,b,c…..x,y….3）集合的成员可以是另一个集合4）元素和集合的关系是隶属关系元素b属于集合Sb∈S元素b不属于集合S┐（b∈S）bS5

2、）单元素与单元素集合a、{a}、{{a}}它们之间的关系2、集合的表示形式列举法：列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来注：1)集合的元素是无序的（无序性）{2,1}={1,2}2)重复的元素应该认为是一个元素（互异性）{2,1,1,2}={2,1}3)集合中的元素可以是一个集合，但不能是该集合本身。A={1,2},B={a,b,{a},A},C={a,C}描述法（谓词表示法）：用谓词来概括集合中元素的属性{x

3、P(x)}如：S={x

4、x是实数，且x21=0}如：S={2,4,6,8,…}=

5、{x

6、x>0且x是偶数}3、集合的元素个数－基数对于有限集合用

7、A

8、来表示该集合中的元素个数。A={1,2},

9、A

10、=24、常用的集合：自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合I，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C，素数集合P二、集合之间的关系1、包含关系定义1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集．这时也称B被A包含，或A包含B，记作B⊆A。（⊈）B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A)性质：（1）自反性显然对任何集合A都有A⊆A．（2）传递性若A⊆B且B⊆C则A⊆C两

11、个集合之间的关系可以是隶属关系和包含关系，对于某些集合这两种关系可以同时成立．如：A＝｛a,d,{d}}和{d}注意：x∈A则有｛x｝⊆A例：判断下列问题是否正确：1、若A∈B且B⊆C则A∈C2、若A∈B且B⊆C则A⊆C3、若A⊆B且B∈C则A∈C4、若A⊆B且B∈C则A⊆C例:A={a}B={{a}}C={{a},b}例:A={a}B={a,b}C={{a,b}}二、集合之间的关系2、相等关系定义2设A，B为集合，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记作A＝B．（）集合相等的谓词表示为：A＝B<=>A⊆B∧B⊆A

12、注：判断两个集合的相等应从相互包含来证明3、真包含关系定义3设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。（）真子集的符号化表示为谓词表示：B⊂A⇔B⊆A∧B≠A4、空集（非常重要的集合）定义4：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø可用Ø＝｛x

13、x≠x｝表示；实例：｛x

14、x∈R∧x2+1=0｝性质：

15、Ø

16、＝0空集是任何集合的子集空集是唯一的（反证法）问题：Ø与｛Ø｝是什么关系？可以用Ø构造含有4个元素的集合吗？5、全集E任何集合看成是全集E的子集，∀A⊆E6、集合的文氏图表示全集、包含、相等例:

17、判断真假1)2∈{{2}}2){2}∈{{{2}}、{2}}例:设S＝｛2，a,{3},4｝R={{a},3,4,1}判断真假1){a,4,{3}}⊆S2){a}⊆S3){a}∈R4){a}⊆R5)Ø∈R6){Ø}∈R7）Ø⊆{a}8)Ø⊆｛{a}｝⊆R⊆E二个概念一定要分清属于：b∈S元素b作为一个整体属于集合S包含：B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A)要求所有的B中的元素均属于An元集:含有n个元素的集合称为n元集0元集:1元集(或单元集),如{a},{b},{},{{}},…

18、A

19、:表示集合A中的元素个数,A是

20、n元集

21、A

22、=n有限集(finiteset):

23、A

24、是有限数,

25、A

26、<,也叫有穷集n个元素集合A的m元子集.例：A＝{1，2，3}求该集合的所有子集0元子集：Ø，1元子集：{1}，{2}，{3}，2元子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}3元字节：A集合A的所有子集个数三、集合的幂集1、幂集定义5设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)(或2A)幂集的符号化表示为：P(A)＝{x

27、x⊆A}｜P(A)｜＝？注：幂集是以子集合为元素的集合任何集合A一定有二个平凡子集：Ø和A例：设S＝｛a,{a

28、}｝求P(S)2、对于隶属关系和包含关系要明确A⊆B的充要条件是P（A）⊆P（B）例：设：A＝｛Ø｝B＝P（P（A））判断真假:Ø∈B、Ø⊆B、{Ø}∈B、｛Ø｝⊆B{｛Ø｝}∈B、｛｛Ø｝｝⊆B{｛Ø｝，Ø}⊆B、｛｛{｛Ø｝}，｛Ø｝}}⊆B§6.2集合的运算（共定义5种集合的运算及其运算律）1、交运算1）定义1任何两个集合A和B的交集A∩