材料成形有限元法_有限元程序设计

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1、华中科技大学教案章节第一章第一节周次第三周课次第一次教案内容一、有限元程序设计的基本思想：1.一般采用FORTRAN77语言，FORTRAN90语言也开始逐渐被采用。2.程序流程标准化（通用性、可读性）。3.程序模块化（可移植性、可读性、可调性）。4.程序变量名统一化（可读性、可调性）。二、有限元程序的一般过程：最小势能原理（位移法的数学基础）：（1）其中：e为构形的应变；s为构形的应力；u为构形的虚位移；P为构形上所受的面力；G为构形的体力；PP为构形的势能。对于线弹性问题而言，构形就是线弹性体。某构形处于平衡状态时，其势能应为最小，即（2）

2、（3）1.单元离散过程：1)几何关系（单元内任意点的位移u与应变e之间的关系）（4）其中L为单元几何关系算子。2)本构关系（单元内任意点的应变e与应力s之间的关系）（5）其中为弹性矩阵。3)插值关系（单元内任意点的位移u与单元结点位移ue之间的关系）（6）其中N为单元插值形函数矩阵对于某一有限元单元来说，由式（3）~式（6）可得：华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第一节周次第三周课次第一次教案内容（7）其中B=LN。由于的任意性，得（8）最终得到单元刚度方程（9）其中：单元刚度矩阵单元外载荷向量2.单元集成过程（10）（11）

3、3.刚度方程约束过程给出所要求解问题的边界条件。4.刚度方程求解过程由式（11）解出所有结点的位移U。5.有限元回代过程1)求单元的应变（12）2)求单元的应力（13）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第二节周次第四周课次第二次教案内容一、单元几何关系1.三维情况，单元的应变与位移的关系为：（1）即（2）2.二维情况单元的应变与位移的关系可由三维情况退化而来，1)平面应力和平面应变情况：（3）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第二节周次第四周课次第二次教案内容2)轴对称情况（4）二、单元本构关系1.三维情况单

4、元的应力应变关系为（5）其中（6）2.二维情况可由三维情况退化而来，1)平面应力（）（7）2)平面应变（）（8）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第二节周次第四周课次第二次教案内容3)轴对称情况（）（9）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第三节周次第五周课次第三次教案内容一、有限元法中常采用的单元类型及其形状函数1.线性单元（一次单元）：1)一维线单元（1）其中，l为单元长度；x1和x2为单元结点坐标；x为单元内任意点的坐标。2)二维面单元a)三角形单元（2）其中，A为单元面积（3）（4）xi、yi、zi（i

5、=1,2,3）为单元结点坐标。b)四边形单元（5）四边形四个结点的自然坐标为（r1，s1）=（-1，-1）；（r2，s2）=（1，-1）（r3，s3）=（1，1）；（r4，s4）=（-1，1）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第三节周次第五周课次第三次教案内容3)三维体单元（5）其中，V为单元体积（6）（7）（8）（9）（10）循环轮换脚标1、2、3、4，可得其它常数。华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第一章第三节周次第五周课次第三次教案内容2.高阶单元1)一维单元a)一维二次单元：（11）b)一维三次单元：（12

6、）2)二维单元a)二维三角形单元（六结点三角形单元）：（13）b)二维四边形单元（八结点四边形单元）：（14）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第二章第一节周次第六、七周课次第四、五次教案内容一、平面三结点三角形单元的有限元一般过程1.有限元平衡方程1)几何关系（1）2)本构关系a)平面应力（）（2）b)平面应变（）（3）c)轴对称情况（）（4）3)插值关系（5）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第二章第一节周次第六、七周课次第四、五次教案内容其中，ue假设为则形函数矩阵可表示为（6）将公式（1）~（6）代入最小势能原理

7、可得有限元平衡方程（7）其中：单元刚度矩阵单元外载荷向量1)平面应力和平面应变情况的B矩阵为（8）2)轴对称情况的B矩阵为（9）华中科技大学教案2021/8/30第29页章节第二章第一节周次第六、七周课次第四、五次教案内容1)对于平面应力情况，假设板厚为t，单元面积为a，则（9）2)对于平面应变情况，任取厚向长度为t，单元面积为a，则（10）3)对于轴对称情况，单元面积为a，则（11）2.有限元平衡方程组的边界条件约束处理由所有单元刚度方程组装所形成的总体刚度方程在未进行边界条件处理之前是奇异的，方程组有无数组解。只有在正确实施所要分析问题的边

8、界条件之后，总体刚度方程才有唯一一组正确的解。有限元平衡方程组的边界条件约束处理方法一般有两种，1)乘大数法：在所要约束的自由度位置的总刚对角线元素上