安徽电气工程职业技术学院基础部数学教研室臧永翠

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1、安徽电气工程职业技术学院基础部数学教研室臧永翠第八章多元函数积分学本章共安排12学时，其中习题课有2课时。具体如下：第1,2课时：8.1.1二重积分的概念8.1.2二重积分的性质教学目的：理解二重积分的概念了解二重积分的性质掌握二重积分的几何意义教学重点：二重积分的定义与性质教学难点：二重积分的性质教学过程：1.复习一元函数定积分的定义，回忆求曲边梯形面积的步骤：（10’）“分割”—“近似代替”—“求和”—“取极限”然后提出问题：如何求曲顶柱体的体积（理解一下什么叫曲顶柱体？）2.分析其四个步骤，求出曲顶柱体的体积从中引出二重积分的定义（15’）3.二重积分的定义：（15’）（比照定积分的定义

2、，加以说明其共性：“和式的极限”）4.二重积分的几何意义：（10’）5.二重积分的性质：（35’）着重介绍性质1，2，3，4要求学生一定要掌握对性质4：（积分区域的面积）应补充例题如：①②等=对性质5，6，7仅作介绍。学生知道即可，不要求掌握。（15’）6本次课程小结，带领学生一起做习题9.1的1,2,3（15’）第3,4课时8.1.3二重积分的计算方法教学目的：掌握二重积分的计算公式并会交换积分次序教学重点：二重积分的计算教学难点：化二重积分为二次积分（累次积分）会定积分变量的上下限教学过程：1.复习二重积分的定义及几何意义（提问）定积分中已知平行截面面积求立体体积（教师讲解）（10’）2.

3、推导公式：见教材P285~P287（15’）（此处可以按教材进行，直到推出公式9.3）3.讲解教材中的例2，例3然后讲解例5，发现问题：（25’）在=中先对y积分，=的原函数求不出来，此时再提出积分的次序可以交换，给出公式9.4后，完成例5的讲解4．归纳求二重积分的步骤，给出学生求二重积分的思路（10’）5．讲解例4（分析恰当的选择积分次序的重要性，要学会根据被积函数与积分区域来定）6．两种特例：（20’）①积分区域D为矩型区域，且②积分区域D既为Χ型，又为Y型区域要会交换积分次序7.可先补充例题如：（10’）①②再讲解例68.本次课程小结，布置作业（10’）第5,6课时：8.1.3二重积分的

4、计算方法教学目的：掌握在极坐标系下计算二重积分教学重点：在极坐标系下二重积分的计算公式教学难点：积分变量极角，极限上下限的确定教学过程：1.复习在直角坐标系下计算二重积分的两个公式然后给出：化为累次积分，其中D为圆环域：让学生来定上下限。从中发现问题，再引出极坐标的概念（15’）2.推导公式：先推出面积元素=,将二重积分化为极坐标系下的二重积分,再化为累次积分，其积分次序只有一种，即先对r积分再对积分（告诉学生如何定出r，的上下限）（15’）3.讲解例7，例8，（15’）补充例题：其中D:从中引出概率积分：=4.求空间立体的体积：（15’）关键在于两点：步骤：⑴画出空间立体的图形⑵找出空间立体

5、在xoy面上的投影区域D⑶计算二重积分5.讲解教材中的例9，例10（25’）（从中可以告诉学生如何找出积分区域及被积函数的简单方法，可以不画空间立体的图形）再补充一例，让学生练习。6.本次课程小结，布置作业。（10’）第7,8课时：8.2曲线积分教学目的：理解曲线积分的概念与性质掌握曲线积分的计算方法教学重点：曲线积分的计算方法教学难点：曲线积分概念的引入教学过程：1.复习定积分，二重积分的定义——“和式的极限”（10’）两个向量的数量积以及功的求法：从而提出问题：如何求出变力沿曲线所做的功2.引例：求变力沿曲线做功（15’）通过“分割”—“近似代替”—“求和”—“取极限”这四个步骤得出:（这

6、里可以由教师叙述出来其过程，最后只写出结论引导学生看出这又是一种和式的极限，然后对比定积分，二重积分的定义，抽象出对坐标的曲线积分的定义）3.对坐标的曲线积分的性质（10’）4.给出对坐标的曲线积分的计算公式（9.16）（9.17）,（9.18）（15’）(基本思路：化曲线积分为定积分)5.讲解教材中的例1，例2，例3，（例4，例5可讲可不讲）（25’）然后根据以上例题分析一下，有的积分的值与路径有关（如例1），有的积分的值与路径无关（如例2）6.将习题9.3中的2，3作为课堂练习，让学生做(20’)7.本次课程小结，布置作业(5’)第9,10课时：8.2.4格林公式教学目的：熟练掌握格林公式

7、会判定曲线积分是否与路径无关教学重点：格林公式积分与路径无关的条件教学难点：格林公式应用的条件教学过程：1.复习曲线积分的计算方法，牛顿—莱布尼茨公式（10’）2.讲解格林公式（不用证明，着重分析格林公式的条件及结论）（10’）格林公式的条件：①L为D的正向边界，②在D内连续3.讲解例6，例7，例8（可以补一例）（30’）8.2.5平面上曲线积分与路径无关的条件4.从上次课的例2入手，引出曲线积分