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1、第24卷第11期大 学 物 理Vol.24No.112005年11月COLLEGEPHYSICSNov.2005教学讨论 与质点连接的杆横振动的频率特性12李翠莲,龙 涛(1.上海交通大学物理系,上海 200240;2.上海交通大学附属实验小学,上海 200240) 摘要:推导了一端固定、一端与质点连接的弹性杆横振动的频率特性方程,并详细讨论了几种质量比情形下的特征频率.关键词:弹性杆;质点;横振动;频率中图分类号:O411.1文献标识码:A文章编号:100020712(2005)1120023202[1～4]42 弹性
2、杆的纵振动是数学物理方法教科书中5Y444ρν4=16πμY,μ=22(2a)讨论得较为透彻的一个常规问题,但弹性杆的横振5x4πEκ动[1]由于涉及到4阶微分方程,直接求解非常困难,5YY
3、x=0=0,=0(2b)5xx=0因此数学物理方法教科书中仅列出振动方程,而没2[5]dY有进行求解.在振动与声教科书上介绍了几种特2=0(2c)dxx=l殊情形下方程的特解.本文研究另外一种特殊情形32dY22(即一端固定、另一端与一个可看成质点的集中质量ESκ3-m4πνY
4、x=l=0(2d)dxx=l物体连接)下杆横振动的频率特性
5、.这个工作基于下其中面两方面考虑:一方面,对于杆的横振动,波的相速2E与波的振动频率有关,所以研究杆横振动的频率特ν=2πμκ(3)ρ性对解决杆的振动问题极为有用.另一方面,本文获为振动的频率.方程(2a)的一般解为得的频率特征方程可直接应用于计算加套块音叉的Y(x)=acosh(2πμx)+bsinh(2πμx)+频率,因此,可用来定量解释用音叉杆上加套块来改ccos(2πμx)+dsin(2πμx)变频率的方法获得的拍频现象.由左端固定的边界条件方程(2b)得c=-a,d=考虑弹性均匀细杆,长为l,横截面面积为S,杨-b
6、,所以氏模量为E,质量密度为ρ,左端固定,右端与质量Y(x)=a[cosh(2πμx)-cos(2πμx)]+为m的质点连接,在初始激励下作横振动,其位移b[sinh(2πμx)-sin(2πμx)]函数y(x,t)满足定解问题:由另一端与质点连接的边界条件方程(2c)得425yρ5y4=-22(1a)a[cosh(2πμl)+cos(2πμl)]+5xEκ5t5y52yb[sinh(2πμl)+sin(2πμl)]=0yx=0=0,=0;2=05xx=05xx=lcosh(2πμl)+cos(2πμl)即b=-a(4)3y
7、52ysinh(2πμl)+sin(2πμl)25ESκ3+m2=0(1b)5xx=l5tx=l由方程(2d)得25y2πmν′y
8、t=0=<(x),=φ(x)(1c){a[sinh(2πμl)-sin(2πμl)]+b[cosh(2πμl)+5xt=0μl22212cos(2πμl)]}-4πmν{a[cosh(2πμl)-cos(2πμl)]+其中κ=zdS叫做截面的回旋半径.为了考察S∫b[sinh(2πμl)-sin(2πμl)]}=0棒振动的频率特征,我们需要研究棒的简正振动方m′-i2πνt{a[sinh(2πμ
9、l)-sin(2πμl)]+b[cosh(2πμl)+式.设y=Y(x)e是上述波动方程的解,将此解2πμlm代入以上波动方程得:cos(2πμl)]}-{a[cosh(2πμl)-cos(2πμl)]+收稿日期:2005-02-24作者简介:李翠莲(1967—),女,(土家族),湖南龙山人,上海交通大学物理系副教授,主要从事普通物理教学和软凝聚态物理研究.24大 学 物 理 第24卷b[sinh(2πμl)-sin(2πμl)]}=0(5)于是频率ν为其中m′=ρSl表示杆的质量.将式(3)代入式(4)整EπEκ222ν
10、=2πμκ=2βn(10)理可得ρ2lρm′或-cosh(2πμl)cos(2πμl)-2πμlcosh(2πμl)sin(2πμl)+m20.55966Eκm′ν1=2ρ,ν2=6.267ν1,ν3=17.584ν1,⋯2πμlsinh(2πμl)cos(2πμl)=(6)lm(11)令β=2μl,得这个结论与文献[4]中的结果完全一致.m′-mcosh(πβ)cos(πβ)-πβcosh(πβ)sin(πβ)+2)m′=0,杆退化为弹簧振子,方程(7)变为m′cosh(πβ)sin(πβ)=sinh(πβ)cos(πβ)
11、(12)πβsinh(πβ)cos(πβ)=(7)m或方程(6)或(7)即是容许频率条件.由该方程确定βcoth(πβ)=cot(πβ)(13)或μ,再根据方程(3)就可确定频率ν的值.从方程其解为β1=0.0,β2=0.0,β3=1.244,⋯,表明弹簧(6)或(7)可以看出,与一质点相
