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1、11.二元一次方程的整数解作者德化一中颜墀策甲内容提要1.二元一次方程整数解存在的条件:在系数a、b、c都是整数的方程ax+by=c(简称整系数方程)中,如果a、b的最大公约数能整除c,那么方程有整数解.即:若(a,b)
2、c,则方程ax+by=c有整数解.显然当a、b互质时,方程一定有整数解.例如:方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解.返过来也成立.即:若(a,b)不能整除c时,方程ax+by=c没有整数解.例如:方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解.∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,但2不
3、能整除1.一般地,我们在正整数集合里研究公约数,所以(a,b)中的a、b实为它们的绝对值.2.二元一次方程整数解的求法:若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个.我们常引入整数k来表示它的通解(即所有的解),k叫做参变数.通常可用以下两种方法求得它的通解.方法一.整除法:如求方程5x+11y=1的整数解.1−11y1−y−10y1−y解:x===−2y,(1)5551−y设=k(k是整数),则y=1-5k,(2)5把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2.⎧x=11k−2,∴原方程所有的整数解是⎨(k是整数)⎩y=1−5k.
4、⎧x=x0,方法二.公式法:设ax+by=c有一个整数解⎨y=y.⎩0⎧x=x0+bk,则它的通解是:⎨(x0,y0可用观察法求得).y=y−ak.⎩03.求二元一次方程的正整数解:⎧x>0,方法一.先求出整数解的通解,再解不等式组⎨确定k值.⎩y>.0c−by方法二.用含一个未知数的代数式表示另一个未知数(如x=),求这个未知数的a29取值范围,再用观察法直接写出正整数解.乙例题例1.求方程5x-9y=18整数解的通解.18+9y15+10y+3−y3−y解法一:x===3+2y+.5553−y设=k(k为整数),则y=3-5k,代入得x=9
5、-9k.5⎧x=9−9k,∴原方程整数解是⎨(k为整数).⎩y=3−5k.⎧x=,0解法二:当x=o时,y=-2,即方程有一个整数解⎨⎩y=−.2⎧x=0−9k,∴它的通解是⎨(k为整数)⎩y=−2−5k.从以上可知,整数解的通解的表达方式不是唯一的.例2.求方程5x+6y=100的正整数解.100−6yy解:方程5x+6y=100可化为x==20−y−,……(1)55y设=k(k为整数),则y=5k.…(2)5把(2)代入(1)得x=20-6k,⎧x>0,⎧20−6k>0,20∵⎨即⎨解得0<k<,∴k的整数解是1,2,3.⎩y>.0⎩5k>
6、.06⎧x=,8⎧x=,2⎧x=14,∴原方程的正整数解是⎨或⎨或⎨⎩y=10;⎩y=15;⎩y=5.例3.甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买这两种书各几本?解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得3x+5y=38(x、y都是正整数).⎧x=,1⎧x=1+5k,∵⎨是一个整数解,∴它的通解是⎨(k为整数)⎩y=.7⎩y=7−3k.⎧1+5k>,017∵x、y都是正整数,得不等式组⎨解得−.05330∴整数k=0,1,2.把k=0,1,2代入通解,得⎧x=,1⎧x=,6⎧x=11,原方程所有的正整数解⎨或⎨或⎨⎩y
7、=;7⎩y=;4⎩y=.1答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本.例4.一项工程,甲单独完成需要a天,乙单独完成需要b天,a、b都是正整数,现在乙先工作3天后,甲、乙再共同工作1天恰好完工,则a+b的值等于__或__.(2000年希望杯邀请赛初二试题)41答:10或9.依题意,得+=1,去分母,得4a+b=ab,ab-b=4a,(a-1)b=4a,ba4a4(a−)4+44即b===4+,a−1a−1a−1∵a、b都是正整数,∴只有当a=2,3,5时,b分别等于8,6,5等式成立.丙练习111.求下列方程的整数解:①公式法:x+7
8、y=4,5x-11y=3;②整除法:3x+10y=1,11x+3y=4.2.求方程的正整数解:①5x+7y=87;②5x+3y=110.3.一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?4.兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,这三人各几岁?5.下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________.(填编号)①4x+2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121
9、y=324.6.一张试巻有20道选择题,选对的每题得5分,选错时每题反扣2分,不答则得0分,小军同学得48分,他最多做对几题?7.用观察法写出方程3x