培优提升分数的速算与巧算2

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1、第二讲分数的速算与巧算(培优题)上一讲复习题：【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……【解析】原式【例1】【解析】原式【例2】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算

2、公式的代入有，，……，原式【巩固】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【巩固】【解析】，，……，，所以原式【巩固】【解析】原式【例1】.【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【巩固】计算：【解析】原式【巩固】计算：．【解析】原式【巩固】计算：．【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【巩固】【解析】（

3、法1）：可先找通项原式（法2）：原式【例1】【解析】原式＝＝【巩固】计算：【解析】先找通项公式原式【巩固】【解析】先找通项：，原式【例1】【解析】找通项原式，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式【例2】【解析】原式==【巩固】【解析】原式【例3】计算：【解析】通项公式：，原式【巩固】计算：【解析】本题的通项公式为，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母，可以看出如果把换成的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个．将项数和为100

4、的两项相加，得，所以原式．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式）【例1】【解析】虽然很容易看出＝，＝……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？＝＝＝＝＝＝＝．