内切球、外接球问题

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1、处理球的“内切”“外接”问题一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形）的内切、外接球球心一定重合。例：1.正六面体（即正方体）：球心在体对角线的中点。设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图1为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。图1图2图3（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。2.正四面体（四个面全等的正三棱锥）设高为h，内切球半径为r,

2、外接球半径为R。内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为r=，R=，R=3r.例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：（方法一）运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．5在中，，即，得，得（方法二）正四面体四个面全等，是一种侧棱与底面边长都相等的特殊正三棱锥。可以用补形法补成正方体，取正方体的六条面对角线为正四面体棱长，再由正方体外接球球心在体对角线上来求出半径。

3、二、构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题1、正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。(直棱柱球心在上下底面外心连线的中点处)例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为，高为，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.2、长方体的外接球球心也在体对角线中点，直径等于体对角线长

4、。无内切球，因最多与长方体5个面相切。例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.B.C.D.解设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.∴.∴这个球的表面积是.选C.例3.已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。5图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，，图1三、棱锥的内切、外接球问题普

5、通的正棱锥的内切、外接球心都在高线上，但不重合。一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.例5若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.（补形法）解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为，则有.∴.故其外接球的表面积.例6正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.（寻求轴截面

6、圆半径法）解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.又，∴球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.5在中，由，得.∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.（确定球

7、心位置法）例7在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B.C.D.解设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.选C.练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2.（球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。3．设是球面上的四点,且两两互相垂直,若,则球心到截面的距离是.4.（球内接正三棱锥问题

8、）在正三棱锥中，侧棱，侧棱，5则此正三棱锥的外接球的表面积为5.（球内接棱柱问题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平