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1、〔微分演算的历史发展过程〕历史发展过程。二,二十二,二,二二‘,神秘的微分演算刁一开始就变为或分其。,。二中是通过形而上学的解释来假定的先是它存在然后对它进行解释,二,十。,于是也就有或亏从这个任意的假定就得出这样的,二十刁二劣分,结论为了得到正确的结果我们在二项式或的展开中必须把、,例如与一阶导函数一起获得的用二和刁二表达的那些项魔术般地丢掉等,。,,等等等由于在实际建立微分演算的时候是从上述结果出发的也就是从、,那些预料到的不是推导得来而是用解释来假定的微分元出发的所以符号微、曰、,,,、、夕山二,,。二。,筋。系数或含也是为这种解释所预料到的嚣去,川‘、月占、瓜。。朴刁‘诵。·刁‘
2、,仲怂,六且品场且一刁“,丫洁,如果的增量而依赖于它的变量的增量那末不言而喻嚣。,二劣表示和的增量之比至于刁出现在分母中即自变量的增量出现在分,,母中而不是反过来出现在分子中这是因为微分形式演化的最后结果本身即,。微分也是一开始就由那些假定的微分元所给定的缘故二,二,如果我取因变量和自变量的最简单的关系即那末我知道二。,,或夕忿但是由于我要找自变量的导函数在这里它活所以我忿二,必须用或去除两边因而,决土“劣从万一,所以我一下子就全都知道在符号微系数中自变量的增量必须出现在分母中而不是出现在分。子中‘,,但从的二次幂函数开始用二项式定理就立刻可以找到导函数它完全,二溶,,现成地以第二项出现
3、在其中伴随着或即一次幂的增量再加上要魔。,术般地丢掉的各项这种魔术般地丢掉不知不觉地在数学上倒是正确的因。为它只是丢掉了由最初的魔术一开始就产生的那个计算误差二,劣口二把变为二劣十,二劣十分或,,于是就可对这微分二项式象对普通的二项式一样进行处理从技术观点来看。这是很有成效的唯一还可能提出的问题是为什么要把那些碍手碍脚的项用暴力镇压掉,。这就假定了大家都已知道它们是碍手碍脚的并且实际上是不属于导函数的。回答很简单这纯粹是从经验得来的二不但对许多更加发展了的的函,,数以及作为曲线方程的它们的解析形式等等人们早已知道了实际的导函,,数而且就在最先可能的决定性试验中即在对最简单的二次代数函数的
4、处理,中发现了这一点例如劣,,十夕二二”二二,护护二忿’二,二分忿,。夕二,二含,如果两边都减去原来的函数那末男劣十劣”,夕劣活十活方,如果我从两个式子的右边镇压掉最后一项那末二劣劣,劣分,夕进而得到或。一自试—二’,,但是从知道沪是第一项第二项是如果我用去除这表,二二,分二忿,‘示式犹如用去除上面的或者用去除那末得到作为护,二。,的一阶导函数作为二项式给护添加的用表达的增长因此为了找出导,函数必须把护或蕊镇压掉而根本不管对护或掀原来是无可奈何。的,所以人们通过试验的方法就在第二步中必然会认识到不但为,——,分溶了得到一个正确的结果甚至为了得到任何一个结果都必须把护或魔术般。地丢掉,其次
5、人们已在劣劣,劣活十忿分或,二二“二十污’中看到它们是二项式或的正确的数学表示式第二和第。,三项至于这个数学上正确的结果建立在数学上根本错误的假定之上即一二,一二二二,一二二二,。开始就把刁当作或分这是人们所不知道的不然的,,话人们不用魔术般地丢掉而用最简单格式的代数运算也会获得同样的结果并把。它提供给数学界,。所以人们自己就相信了这种新发现的算法的神秘性质这种算法用数学上肯定是错误的方法得出了。正确的尤其在几何应用中惊人的结果这,,,样人们就把自己神秘化了越加高估这个新发现也就越加引起了一群旧式,,正统派数学家的恼怒并激起了敌对的叫嚣这种叫嚣甚至在数学界以外得到,。了共鸣而这也是为新事
6、物开拓道路所必需的。二,理性的微分演算达兰贝尔直接从牛顿和莱布尼茨的出发点。,,二劣开始但是他立刻做了一个根本的修正二二刁二也就是给‘加上,,。一个不确定的但初看起来是有限的增量他把这个增量叫做而这个或刁二二,,变为他和所有法国人一样都采用莱布尼茨的写法只是作为演化,,的最后结果或者至少发生在最后一刹那之前但神秘主义者和这种演算的创,,始者却把它作为出发点达兰贝尔本人从符号的一边出发然而是在这一边变为符号之前出发的。这样就立刻得到两种结果。构成差值之比二一二二一二一劣一劣的出发点是二,‘,一二它相应于一个用给定的代数函数这个代数函数是,。二劣二劣在用表达的原函数例如护中以和它的增量即代替
7、而得出的二,,一,这种形式如果它就妇是函数差值的形式为了变成函数增,,、量对自变量增量的比值这种形式还需要进行演化因而它起着实在的而,不象在神秘主义者们那里仅仅是有名无实的作用因为如果我象这些人那样有‘,护‘二二“劣,护吼砂,那末我一开始就知道在二十一二妒十护二砂十一护,。,中对立着的两边都已归结为增量这甚至不必写出来因为我在右边已看到,二一护的增量其后面的三项同样在中剩下的只是劝的增量。,。或因此这个最初的差值等式只起着一开始就重
