丢番图MicrosoftWord文档

《丢番图MicrosoftWord文档》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、关于“丢番图（Diophantus）猜想”的论证丢番图（Diophantus）猜想：如果是两个正整数，且是完全平方数，那么：则：是一级“勾股数组”。命题一：在直角三角形中，对于任意给定的一直角边为一个正奇数（），则一定存在正奇数和正偶数，使之满足：;且组成“勾股数组”的数量为：在的因数中小于或等于的所有正奇因数的个数之和；其“勾股数组”的计算公式为：.证明：充分性假设在直角中，，两条直角边分别为，斜边为；令为正奇数，并且，、均为正整数。根据“勾股定理”可得：（1）令：.由此推出：（2）把（2）代入（1）可得：所以经整理可得：并可以推出：（3）再令：.（4）由（4）

2、可知：（5）9把（5）代入（3）可得：所以，（6）由此我们把（2）、（4）、（6）综合可得如下结论：（7）因为都是正整数，由（6）式可知：则也是正整数；所以令：（其中的整数）.由（4）可得：故：.由（4）式可知：因为，故就一定是一个完全平方数；所以（7）式可转化为：（8）因为，又因为9是一个完全平方数且又是偶数，所以，的偶数；故;即：.（9）由（8）式可得：所以，（10）由（10）式可知：又因为为奇数，所以为中的正奇因数。而是偶数，且又是完全平方数，又因为为正奇数，因此就一定是偶数，，故的偶数，又，都是偶数，所以为偶数；又，而为奇数，则为奇数。又由于：.的正偶数.

3、故：即：（11）解这个不等式可得：.由（8）式可得：故不合题意去。所以，不等式（11）的解集为：.（12）综上所述，当的正奇数时，则的取值为：的因数中小于或等于的每一个正奇因数，因此在9的正奇因数中，有多少个小于或等于的正奇因数，那么就会产生多少个相应的正奇数，再由来计算并产生相应的正偶数，在得到正奇数的值之后，就可利用如下公式：.（13）来计算相应的正偶数，从而可得到了以给定的正奇数作为一直角边的所有“勾股数组”。必要性：若一个三角形的三边满足：.则：而.命题一证毕.下面举例说明“命题一”的使用方法：例：当直角三角形的一条直角边时，能组成多少个“勾股数组”？并指

4、出每一个“勾股数组“的具体组合.解：而在中小于283的正奇因数共有22个9（分别为：1，3，5，7，9，15，21，25，27，35，45，49，63，75，81，105。135，147，175，189，225，249），所以，以315作为一直角边所构成的“勾股数组”共有22个；详见下表：以315为直角三角形的一直角边所组成的“勾股数组”表序号中小于283的因数的取值的取值（）把代入公（13）计算11=1149298（315,49612，49613）23=3316224（315，16536，16539）35=559610（315，9920，9925）47=7767

5、76（315，7084，7091）5=995202（315，5508，5517）6=15153000（315，3300，3315）7=21212058（315，2352，2373）8=25251682（315，1972，1997）9=27271536（315，1824，1851）10=35351120（315，1400，1435）11=4545810（315，1080，1125）12=4949722（315，988，1037）13=6363504（315，756，819）14=7575384（315，624，699）15=8181338（315，572，653）1

6、6=105105210（315，420，525）17=135135120（315，300，435）18=14714796（315，264，411）19=17517556（315，196，371）29=18918942（315，168，357）21=22522518（315，108，333）22=24524510（315，80，325）命题二：在直角三角形中，任意给定的一直角边为一个偶数（）时，则一定存在正整数，使之满足：；且组成“勾股数组”的数量为：在的因数中小于或等于的所有正偶因数的个数之和，其“勾股数组”的计算公式为：.证明：充分性假设：在直角中，，两条直角边

7、长分别为，斜边为9，其中为正偶数，、均为正整数。根据勾股定理可得：（1）则令：（其中的整数）由此推出：（2）把（2）代入（1）可得：所以，经整理可得：并可以推出：（3）再令：（其中的整数）（4）由（4）可得：（5）把（5）代入（3）可得：所以，（6）由此我们把（2）、（4）、（6）综合可得如下结论：（7）因为是正整数，由（6）式可知：也是正整数。所以，令：（其中的整数）.9故：由（4）式可知：，故就一定是一个完全平方数；所以（7）式可转化为：（8）因为，又因为是一个完全平方数且又是偶数，所以的偶数；在式子：中，因为是偶数，也是偶数，所以为偶数，所以的偶数，故，即：

8、。又因为：