含有一个量词的命题的否定练习题

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1、含有一个量词的命题的否定例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p："xÎR，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$x∈R，x2－x+1＝0；分析：（1）ØP：有的人不晨练；（2）$x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"xÎR，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=

2、0的根。（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。（4）的否定：所有的质数都不是奇数。解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。例3写出下列命题的否定。（1）若x2＞4则x＞2.。（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整

3、表达为对任意的实数x,若x2＞4则x＞2）（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。　（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则

4、x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。解：（1）ØP：若x＞y，则5x≤5y；假命题　　否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题（2）ØP：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题　　否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。　（3）ØP：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。　　否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4）ØP：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。　　否命题：

5、已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3．原命题“若P则q”的形式，它的非命题“若p，则Øq”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。六、回顾反思在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才

6、能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．命题“"xÎR，x2-x+3>0”的否定是4

7、．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是否命题是5．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p："m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；（2）q：$ÎR，使得x2+x+1≤0；6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．（3）若是锐角三角形，则的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0，则x≠1,x≠2．八、参考答案：1．B2．C3．$xÎR，x2-x+3≤04．否定形式：