小波变换科普性质的

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1、多媒体技术教程第7章小波与小波变换林福宗清华大学计算机科学与技术系linfz@mail.tsinghua.edu.cn2008年9月第7章小波与小波变换目录7.1小波介绍7.1.1小波简史7.1.2小波概念7.1.3小波分析7.1.4小波定义7.2哈尔函数7.2.1哈尔基函数7.2.2哈尔小波函数7.2.3函数的规范化7.2.4哈尔基的结构7.3哈尔小波变换7.4规范化算法7.5二维哈尔小波变换7.5.1二维小波变换举例7.5.2二维小波变换方法2第7章小波与小波变换7.1小波介绍小波(wavelet)是什么在

2、有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零3第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续1)部分小波许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的图7-1正弦波与小波——部分小波4第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续2)1807:JosephFourier傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫

3、做傅立叶展开式小波简史小波变换(wavelettransform)是什么老课题：函数的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform5第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续3)只有频率分辨率而没有时间分辨率可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候6第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续4)1909:AlfredHaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwa

4、velets)7第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续5)1945:Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图8第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续6)1980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换(wavelettransform，WT)的概念。20世纪80年代,开发了连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)1986：Y.Meyer法国科学家Y.Me

5、yer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展9第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续7)1988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1]该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典

6、傅立叶分析中的地位10第7章小波与小波变换7.1小波介绍(续8)小波理论与工程应用InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理中，自从StephaneMallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的

7、应用11第7章小波与小波变换7.1小波介绍——小波分析小波分析/小波变换变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系小波变换对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换通过平移母小波(motherwavelet)获得信号的时间信息通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系对比傅立叶变换提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息小波分析中常用的三个基本概念连续小波变换离散小波变换小波重构12第7章小波与小波变换7.1

8、小波介绍——小波分析(续1)连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正