小波变换与多分辨率分析

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1、小波变换和多分辨率处理北京化工大学W.X.J小波变换使得图像压缩、传输和分析变得更快捷！傅里叶变换与小波变换傅里叶变换的基础函数是正弦函数。小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。傅里叶变换与小波变换频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音符或频率信息，局部信息在变换过程中丢失了。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处

2、频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。5.1背景为什么需要多分辨率分析？如果物体的尺寸很小或对比度不高高分辨率如果物体尺寸很大获对比度很强低分辨率通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在5.1.1图像金字塔一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合一个金字塔图像结构金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。5.1.1图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码首先对图像用5*5的高斯模板作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然

3、后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失高斯和拉普拉斯金字塔编码拉普拉斯金字塔编码策略5.1.1图像金字塔5.1.1图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔5125.1.2子带编码在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。子带通过对输入进行带通滤波而得到。双通道子带编码和重建5.1.2子带编码完美重建滤波器族QMF正交镜像滤波器CQF共轭正交滤波器5.1.2子带编码子带图像编码的二维4频段滤波器组5.1.2子带编码5.1.2子带编码5.1.3哈尔变换哈尔变换哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可

4、分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFH其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果5.1.3哈尔变换变换矩阵H包含基函数，它定义在连续闭区间5.1.3哈尔变换N=4时kpq0001012113125.1.3哈尔变换N=2时5.1.3哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解1、其局部统计数据相对稳定；2、大多数值为零，便于压缩；3、原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。5.2多分辨率展开函数的伸缩和平移给定一个基本函数,则的伸缩和平移公式可记为：5.2多分辨率展开函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移5.2多分辨率展开序列展开信号或函数常常可以

5、被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开函数如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则称为基函数。5.2多分辨率展开可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度，表示为：5.2多分辨率展开尺度函数5.2多分辨率展开尺度函数任何j,k上的跨度子空间:j增大时，用于表示子空间函数的范围变窄，x有较小变化即可分开。随j增加增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。哈尔尺度函数考虑单位高度、单位宽度的尺度函数：V0展开函数都属于V1，V0是V1的一个子空间。V2V1V

6、05.2多分辨率展开子空间的展开函数可以被表示为子空间的展开函数的加权和。5.2多分辨率展开j，k置0其中5.2多分辨率展开哈尔尺度函数系数对于单位高度、单位宽度的哈尔尺度函数系数是5.2多分辨率展开小波函数给定尺度函数，则小波函数所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系5.2多分辨率展开5.2多分辨率展开因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中，任何小波函数可以表示成尺度函数：哈尔尺度函数系数：哈尔小波函数系数：5.3一维小波变换一

7、维离散小波变换（DWT）计算一维离散小波变换考虑四点的离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因为M=4,J=2且由于j0=0,对x=0,1,2,3,j=0,1求和。将使用哈尔尺度函数和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为1.计算一维离散小波变换重构原始函数5.3一维小波变换一维离散小波变换（DWT）Morlet小波5.3一维小波变换一维离散小波变换（DWT）Mexihat小波5.3一维小波变换快速小波变换FWT找到了相邻尺度系