函数连续性习题讲解

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1、西南财经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解第四章（函数的连续性）习题选解§1连续性概念（P73）1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：1（1）f(x)；x1证：法1f(x)的定义域为D(,0)(0,)，当x,xD时，有0x11xx0由三角不等式可得：xxxx，00xxxx0011xx0故当xxx时，有002xx0x0xx0x02x0对任意给的正数，取0,则x，当xD且xx时，001x011有f(x)f(x)0xx0可见f(x)在x连续，由x的任意

2、性知：f(x)在其定义域内连续.00x0法2f的定义域为D(,0)(0,)，对其定义域上任一点0，11limf(x)limf(x)0有xx0xx0xx0，故f在x0连续，由x0的任意性知，f在其定义域内连续.2．指出下列函数的间断点及类型：（3）f(x)[cosx]；0xnf(x)[

3、cosx

4、]解：因为1xn，所以f在xn(n0,1,2,)间断.由于lim[cos]x0，从而xn(n0,1,2,)是f的可去间断点.xn（5）f(x)sgn(cosx)解因为第1页西南财

5、经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解12nx2n22f(x)sgn(cosx)0xn2312nx2n22，x2n(n0,1,2)所以f在2间断。由limsgn(cosx)1limsgn(cosx)1x2nx2n2，2，limsgn(cosx)1limsgn(cosx)1x2nx2n2，2，x2n(n0,1,2)故2是f的跳跃间断点.（6）见课程主页（http://lijie.cai

6、.swufe.edu.cn/sxfx.htm）1,x7x7（7）f(x)x,7x11(x1)sin,1xx1解f(x)在x7及x1间断，且limf(x)7，limf(x)不存在，故x7x71x7是f(x)的第二类间断点.又因limf(x)lim(x1)sin0，x1x1x1limf(x)1，故x1是f(x)的跳跃间断点.x1224．若f在x点连续，则f，f是否也在x连续？又若f或f在I上连00续，那么f在I上是否连续？2解（1）若f在x点连续，则f与

7、f在x连续.00（i）f在x点连续。事实上，由于f在x点连续，从而对任给正数，存在00正数，当xx时，有f(x)f(x)，而00f(x)f(x)f(x)f(x)00故当xx时，有f(x)f(x)，因此f在x点连续.000第2页西南财经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解2（ii）f在x点连续。事实上，由于f在x点连续，从而由局部有界性知：00存在M0及0使当xx时，有f()xM，（1）101有连续性定义知：对任给正数，存在正数，当xx，有202fxfx()()（

8、2）0先取min{,}，则当xx，上（1）与（2）式同时成立，因此12022f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)000f(x)f(x)(f(x)f(x))((Mfx))0002故f在x点连续.0（2）逆命题不成立。例如设1,x为有理数2f(x)，则f，f均为常数，故是连续函数，1,x为无理数但f(x)在(,)任一点都不连续.§2连续性的性质（P81）1.讨论复合函数fg与gf的连续性：2（1）f(x)sgnx，g(x)1x；2解（1）由于f(x)sgnx，g(x)1

9、x，2故(fg)(x)sgn(1x)1，可见fg是连续函数。2,x0,又因为(gf)(x)1,x0.因此x0是gf的可去间断点，其余点处处连续.3．设f,g在区间I上连续，记F(x)max{f(x),g(x)}，G(x)min{f(x),g(x)}，证明F和G也都在I上连续.第3页西南财经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解1证因F(x)[f(x)g(x)f(x)g(x)]（据P21总练习题1），再由P.732习题4，知

10、f(x)g(x)

11、在I上连续，所以F(x)是区间I上连续函数f,

12、g经四则运算而得，故F(x)也在I上连续.1同理由G(x)[f(x)g(x)f(x)g(x)]知G(x)也在I上连续.2c,若f(x)