二级倒立摆的建模与MATLAB仿真

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1、万方数据MATLAB二级倒立摆的建模与仿真刘文斌，等二级倒立摆的建模与MATLAB仿真刘文斌，千树川(四川理工学院电子与信息工程系四川自贡，643000)摘要：通过对二级倒立摆结构构成及平衡控制问题的分析，给出基于牛顿力学定律的数学建模方法，并应用二次型最优控制理论实现二级倒立摆控制。根据MATLAB仿真结果表明，建模方法可行，采用二次型最优控制对系统进行控制，能满足控制系统稳定性、鲁棒性要求。关键词：LQR；最优控制；倒立摆；MATLAB：状态反馈阵Abstract：Byanalyzingthedoub

2、leinvertedpendulumsystem，WebuiltamathematicalmodelofthesystemwhichisbasedonNewton’SLawofMechanicsandthelinearquadraticoptimalcontrolstrategy．Thesimulationonshowthatthemethodofthecontrollerisfeasible，andthecontrolsystemhasgoodstabilityandrobustness．Keyword

3、s：I．OR；optima!control；Invertedpendulum：MAn．AB；Statefeedbackmatrie中图分类号：TP273+．1文献标识码：^文章编号：1001—9227(2008)05-0006-03O引言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台，许多抽象的控制理论概念，如系统的稳定性、可观性及-口T控性等都可以通过该系统直观地表示出来。因此，近几年来，该系统已经成为控制领域的研究热点。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。在控制研究领域有着代表性的意义。

4、倒立摆作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过它直观的表现出来。本文以二级倒立摆为研究对象，采用牛顿力学定律进行数学建模，利用二次型最优控制器(1inearquadraticregulator，LQR)t2】[叫求出最优状态反馈矩阵K，经过对Q和R两个加权矩阵的选取实现二级倒立摆的自动控制。该方法为多变量反馈系统的设计提供了有效的分析方法，可适于时变系统，处理扰动信号和测量噪声，处理有限和无限的时间区间[21。1系统建模一个典型的二级倒立摆系统主要由机电装置和控制装置两部分组成。机电装置的结构

5、主要由小车、下摆杆、上摆杆及连接轴等构成，如图l所示。假设系统中的每一根摆杆都是匀质刚体，驱动力与放大器的输入成正比且无延迟地直接作用于小车上，并且可以在忽略实验中的库仑摩擦和动摩擦的前提下，设定摆杆竖直向上时，下摆杆角位移鼠、上摆杆角位移岛均为零，摆杆顺时针旋转为正。图1所示为二级倒立摆模型。在式(1)～式(6)中：x为小车位移，F为加在小车上的6力，m为小车质量，下摆杆质量为M。，转动惯量为J．，下摆杆重心到转轴a问的长度为，l，上摆杆质量为坞，转动惯量为J。，上摆杆重心到转轴b间的长度，2，小车与地

6、面摩擦力系数f，下摆杆转轴a与b间的长度L，重力加速度g。运用牛顿力学定律建立方程如式(1)～式(3)所示。图1二级倒立摆模型F=fJ+(m+Ml+M2)肿(Ml，l+肘2L)鼠COSoi一(Ml‘+M2￡)砰sinq+M21202COS岛一M2厶彰sin幺(1)J202=M2912sin岛+肼2L／2COS鼠sin岛·钟+M2￡f2sinBsin岛·鼠+2M2譬sin02COS岛·彰+M2蟹sin2幺·岛一M2，2COS02工+M2工，2sinBCOS岛·砰-M2L12COSqcos02-B—M2譬CO

7、S2B·02(2)J10l=MIgllsin0l+MlIt2Sin20l·护l+M29Lsin0I+2M2三2sin口lCOS0l·012+M2L2sin20I·口I+M2上，2sin0lCOs02。02+M2L12sin口lsin02·02一MI，lCOSOIx—MlIt2COS20l·0l—M2LCOS01J—M2￡2COS20l·0I+M2L12COS0lsin02’口；一M2￡，2COs占lCOs02·02(3)经过线性化如下：F=鼍取+《m+Ml+M2)x+(Mzlz+MeL)01+M2l202

8、【4)以02=M29，2幺一M2乞工一M2L12日l—M2譬02(5)万方数据以O】=(Mjg／,+M29L)O,一(M，】+M2L)x●M铲+M213)OI—M2L12Oz(6)式(1)～式(6)中各参数的取值如表1所示。裹1参数取值参数参数值m1．328kgMl0．22kgM20．187kgJI0．0049kg／m2J20．0048kg／m2L0．49m，l0．304mF0．226m，2f22．915N／ms’1g9．8m