2020版高考数学第八章系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系讲义（含解析）

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1、第2课时　系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系圆的方程求法[典例]　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，

2、AB

3、＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.所以

4、AB

5、＝

6、AF

7、＋

8、BF

9、＝(x1＋1)＋(x

10、2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[方法技巧]1．确定圆的方程必须有3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(

11、或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　[针对训练]1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4　　　B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1

12、)2＝4解析：选C　由题知直线AB的垂直平分线为y＝x，直线y＝x与x＋y－2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B　圆C1：(x＋1)2＋(y－

13、1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，则得所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.直线与圆位置关系的判断1．(2019·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B　法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－

14、1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.再根据r2－d2＝9－＝.而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－

15、2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．2．(2019·湖北六市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．相交或相切解析：选B　依题意得，直线l的倾斜角为150°，所以直线l的方程是y＝tan150°(x－1)＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，故直线l与圆相切．3．直线y＝－x＋

16、m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)A．(，2)B．(，3)C.D.解析：选D　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用