43换元积分法

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1、4.2换元积分法直接积分法只能求一些简单函数的不定积分，比如这样的积分无法用直接积分法求解。本节我们把复合函数的求导方法反过来用于求不定积分，得到复合函数的积分法——换元积分法，简称换元法，它是通过适当的变量代换，将所求积分化成基本积分公式类型的积分的方法。一.第一换元积分法（凑微分法）如何求不定积分呢？因为是复合函数，所以无法使用直接积分法求解。考虑使用变量代换求解。令，则，所以一般有以下定理：定理1：设，且为可导函数，则有换元公式：即注：（1）关键是将被积函数中的凑成某一个函数的微分的形式，即，所以第一类换元积分法也称为凑微分法。（2）第一换元积分法步骤：凑微分换元求积

2、分回代例如：凑微分令回代再如：注：常用的凑微分公式。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）(13)(14)(15)(16)【例1】求下列不定积分。（1）（2）（3）（4）（5）（6）【练习】：求下列不定积分（1）（2）注：熟练以后，可以省略代换过程，将作为整体，直接求积分。【例2】求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）【练习】求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）注：对有些不定积分，可能要进行两次凑微分，或者进行代数处理后再进行积分。【例3】求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【练习】（1）（2）

3、（3）（4）【思考题】1.2.设，则解：二．第二换元积分法（无理代换）定理2设函数连续，如果（1）可导，且有反函数；（2）则注：使用第二类换元法的关键在于针对被积函数的特点，选择一个适当的代换。【例4】求下列不定积分（1）．解　令，则，,于是　　　．（2）解：令，则，（3）．解　令，则，因此得　　　　　　　　　　　　　　　．【练习】解：令，则，