单自由度系统的无阻尼自由振动固有频率

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1、第2章单自由度线性系统的自由振动振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度)的激励而引起的振动。强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。组成振动系统的理想元件：质量元件——质块弹性元件——弹簧阻尼元件——阻尼器2.1振动系统的理想元件图示单自由度系统：m表示质块c表示阻尼器k表示弹簧2.1.1弹簧弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响应为其端点产生一定的位移。假设与说明：(1)一般假设弹簧无质量实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则可忽略不计;若弹簧质量相

2、对较大，则需考虑弹簧质量;(2)假设为线性弹簧工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。(3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量弹簧所受外力Fs是位移x的函数：Fs=f(x)式中：Fs——弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。线性弹簧：Fs=kx，k为弹簧刚度系数，N/m。弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图所示。等效刚度系数当确定沿x方向的刚度时，在B处沿x方向加一垂直力F。B点在x方向的刚度系数为根据材料

3、力学知，B点在x方向的位移为当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。杆作弯曲变形，根据材料力学知，B点沿y方向的位移B点沿y方向的刚度系数为杆件作转扭，产生扭角，根据材料力学知，B点沿x轴的扭角为当确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M。B点绕x轴转动方向的刚度系数为弹簧串并联与等效弹簧在机械结构中，弹性元件往往具有比较复杂的组合形式。例如：并联弹簧、串联弹簧。为简化分析，可以用一个“等效弹簧”代替整个组合弹簧。简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚度记为keq。等效弹簧：对于

4、复杂组合形式的弹性元件，用一个与其具有相同刚度的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹簧。并联弹簧的等效刚度设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有：Fs1=k1(x2-x1)Fs2=k2(x2-x1)总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+k2）(x2-x1)=keq(x2-x1)则：keq=k1+k2对于n个刚度分别为ki(i＝l,2,…,n)的并联弹簧系统，等效刚度：结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。并联弹簧比各组成弹簧都要硬。串联弹簧的等效刚度串联弹簧上各点的作用力Fs相等：Fs=k1(x

5、0-x1)Fs=k2(x2-x0)将以上两式联立，消去x0，得到：对于n个刚度分别为ki(i＝l,2,…,n)的串联弹簧系统，等效刚度：结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹簧较其任何一个组成弹簧都要“软”弹簧串并联等效刚度实例例1求图示系统的等效弹簧刚度。解：图中，弹簧刚度分别为k1和k2；质量m1、m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。是并联弹簧，还是串联弹簧？并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。图中，弹簧k1、k2是“

6、共位移”的，为并联弹簧。系统的等效刚度：keq=k1+k2是并联弹簧？还是串联弹簧？弹簧串并联等效刚度实例例2确定图示混联弹簧的等效刚度。解：k1、k2为并联，再与k3串联：例3求图示振动系统的等效弹簧刚度。串联弹簧弹簧串并联等效刚度实例例4求等效弹簧刚度。弹簧串并联等效刚度实例例5求图示振动系统的等效弹簧刚度。弹簧串并联等效刚度实例2.1.2阻尼器阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的响应为其端点产生一定的运动速度。假设与说明：(1)假设阻尼器的质量忽略不计。(2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。阻尼器所产生的阻尼

7、力Fd是速度的函数：阻尼力的方向和速度方向相反。线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。即：，c为阻尼系数，N·s／m。非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼(1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼在振动过程中，质块与平面之间产生库仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常数，方向与质块运动速度方向相反。(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，由流体介质所产生的阻尼。流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。(3)结构阻尼材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生

8、的阻尼。结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力—应变曲线成一个滞后曲线。曲线所围图形面积的物理意义：一个循环中，单位体积材料所消耗的能量。这部分能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动产生阻尼。