2019届高考数学复习基本初等函数导数的应用第13讲导数的综合运用分层演练直击高考文

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1、第13讲导数的综合运用1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为________．[解析]由f(x)的图象知，当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－10)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．[解析]依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0

2、0；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．[答案]33．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________．[解析]由f(－x)＝f(x)知函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)在区间上是减函数，所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．[答案]f(－3)＜f(2)＜f4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数

3、a的取值范围是________．[解析]由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2，2)．[答案](－2，2)5．若f(x)＝，00，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，又因为0

4、2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

5、MN

6、达到最小时，t的值为________．[解析]

7、MN

8、的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.[答案]7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．[解析]因为y′＝3x2＋6ax＋3b，⇒所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.

9、所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.[答案]48．(2018·北京海淀区模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，

10、f(x2)－f(x1)

11、＜

12、x2－x1

13、恒成立”，则称f(x)为完美函数．给出以下四个函数：①f(x)＝；②f(x)＝

14、x

15、；③f(x)＝；④f(x)＝x2.其中是完美函数的序号是________．[解析]由

16、f(x2)－f(x1)

17、＜

18、x2－x1

19、知，＜1，即

20、f′(x)

21、＜1.经验证①③符合题意．[答案]①③9．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在

22、(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．[解析]在(0，＋∞)上有f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x>0时，f(x)<0，所以00，所以x<－1.[答案](－∞，－1)∪(0，1)10．若log0.5>log0.5对任意x∈[2，4]恒成立，则m的取值范围为________．[解析]以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为<

23、，所以m>－x3＋7x2＋x－7，令f(x)＝－x3＋7x2＋x－7，则f′(x)＝－3x2＋14x＋1，因为f′(2)>0且f′(4)>0，所以f′(x)>0在[2，4]上恒成立，即在[2，4]上函数f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝45，因此m>45.[答案](45，＋∞)11．(2018·泰州期中考试)已知函数f(x)＝lnx－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x－1)．[解

24、](1)函数的定义域为(0，＋∞)，对函数求导，得f′(x)＝－x＋1＝.由f′(x)>0，得解得0